5 Contoh Soal Identitas Trigonometri dan Kunci Jawabannya

tirto.id - Saat duduk di bangku SMA, siswa akan mulai mempelajari tentang materi identitas trigomoneri. Materi trigonometri ini merupakan salah satu pilar fundamental dalam pelajaran Matematika, khususnya berhubungan dengan sudut dan fungsi seperti sinus, cosinus, dan tangen.

Memahami dan menguasai berbagai identitas ini bukan hanya penting untuk menyelesaikan soal-soal di sekolah, tetapi juga menjadi dasar bagi studi matematika yang lebih lanjut seperti kalkulus dan fisika.

Identitas trigonometri memungkinkan seseorang untuk menyederhanakan ekspresi yang kompleks dan membuktikan kesetaraan antara dua fungsi. Bagi siswa yang ingin mempelajari lebih dalam tentang identitas trigonometri melalui contoh soal, Tirto menyediakan artikelnya untuk dipelajari.

Ringkasan Materi serta Rumus Identitas Trigonometri

Identitas trigonometri adalah kesamaan yang memuat perbandingan trigonometri dari suatu sudut. Kesamaan itu diperoleh dengan cara menjabarkan salah satu fungsi, bisa di ruas kiri atau ruas kanan hingga diperoleh bentuk akhir yang sama.

Untuk menghitung identitas trigonometri terdapat beberapa rumus. Berikut ini beberapa di antaranya.

Rumus Identitas Trigonometri Ganjil Genap

• sin (-α) = -sin α
• cos (-α) = cos α
• tan (-α) = -tan α

Rumus Identitas Kofungsi

Identitas kofungsi adalah hubungan antara dua fungsi trigonometri yang variabel sudutnya merupakan komplemen dari sudut 90^o. Sudut komplementer adalah dua sudut yang saling bersebelahan dan jumlah keduanya tepat 90^o.

Rumus identitas trigonometri kofungsi adalah sebagai berikut:

Nilai

Rumus Identitas Trigonometri Pythagoras

Identitas Phytagoras mengacu pada persamaan Phytagoras. Berikut ini rumusnya.

• sin²α + cos²α = 1
• tan²α + 1 = sec²α
• cot²α + 1 = csc²α

Rumus Identitas Trigonometri Sudut Ganda

Sudut ganda sering disebut juga sebagai sudut rangkap. Maksudnya adalah dua sudut yang besarnya dan arahnya sama serta terletak bersebelahan. Rumus identitas trigonometri untuk sudut ganda adalah sebagai berikut:

• Sin (2α) = 2sin (α) cos (α)
• cos (2α) = cos² (α) − sin² (α) = 1 − 2sin² (α) = 2cos² (α) − 1
• tan (2α) = 2tan (α) / 1 − tan² (α)

Rumus Identitas Trigonometri Selisih dan Jumlah Dua Sudut

Selisih antara dua sudut maupun jumlah dari dua sudut tertentu dapat diterka identitasnya melalui penghitungan trigonometri. Adapun perbandingan yang bisa dipraktikan sebagai berikut.

• sin (α + β) = sin (α) cos (β) + cos (α) sin (β)
• sin (α − β) = sin (α) cos (β)− cos (α) sin (β)
• cos (α + β) = cos (α) cos (β) − sin (α) sin (β)
• cos (α − β) = cos(α) cos(β) + sin(α) sin(β)
• tan (α + β) = tan(α) + tan (β) / 1 − tan (α) tan (β)
• tan (α − β) = tan (α) − tan (β) / 1 + tan (α) tan (β)

Rumus Identitas Trigonometri Setengah Sudut

Untuk menghitung setengah sudut menggunakan rumus identitas trigonometri, peserta didik bisa membagi dua terlebih dahulu lewat perbandingan. Rumusnya dapat dilihat melalui simbol berikut.

• sin ½ α = ± √(1 ‒ cos α) / 2)
• cos ½ α = ± √(1 + cos α) / 2)
• tan ½ α = ±√(1 ‒ cos α) / (1 + cos α) tan ½ α = sin α / (1 + cos α) tan ½α = √(1 ‒ cos α) / sin α

Itulah beberapa rumus identitas trigonometri. Selain rumus-rumus tersebut, masih ada beberapa rumus lainnya yang bisa dipelajari.

Kumpulan Contoh Soal Identitas Trigonometri dan Pembahasannya

Setelah memahami tentang rumus hitungnya, kini saatnya mengerjakan soal. Berikut ini kumpulan contoh soal identitas trigonometri lengkap dengan penjelasannya.

1. Jika tan(5^o) = x, tentukan nilai tan(40^o) dalam x!

Pembahasan:

Oleh karena yang ditanyakan dalam bentuk tangen, gunakan rumus identitas selisih dua sudut pada tangen, di mana tan(40^o) = tan(45^o – 5^o). Dengan demikian:

Jadi, tan

2. Diketahui persamaan berikut

Buktikan dengan identitas sudut ganda bahwa persamaan di atas adalah benar!

Pembahasan:

Di persamaan tersebut terdapat dua identitas sudut ganda yang digunakan, yaitu cos(2α) dan sin(2 α).

Diperoleh: cos 2α = cos² α – sin² α

Oleh karena sin²α + cos²α = 1 ↔ cos²α = 1 – sin²α, maka cos(2α) = 1 – sin2α – sin²α = 1 – 2sin²α.

Jika disubstitusikan pada persamaan awal menjadi:

Jadi, persamaan tersebut adalah benar.

3. Buktikanlah identitas trigonometri berikut ini:

sin A + cos A cos A = csc A

Pembahasan:

Gunakanlah identitas berikut ini:

cot x = cos x / sin x (identitas perbandingan)

csc x = 1 / sin x (identitas kebalikan)

sin² x + cos² x = 1 (identitas pitagoras)

Pembuktian ruas kiri persamaan:

sin A + cos A cot A = sin A + cos A (cos A / sin A )

= sin A + cos² A / sin A

= sin² A + cos² A / sin A

= 1 / sin A

= csc A

Jadi, memang benar bahwa sin A + cos A cos A = csc A.

4. Sederhanakan bentuk trigonometri (1 + cot2 β) / (cot β . sec2 β).

Pembahasan:

5. Buktikan bahwa sec4 α - sec2 α = tan4 α + tan2 α.

Link Download Contoh Soal Identitas Trigonometri Pilihan Ganda

Supaya memudahkan dalam belajar, Tirto sudah menyediakan tautan untuk mengunduh contoh soal identitas trigonometri. Nantinya, Anda bisa mengunduh soal tersebut, mencetaknya, serta mengerjakannya. Semua soal yang disajikan pada segmen ini berupa pilihan ganda.

Link Latihan Soal Identitas Trigonometri

Link Latihan Soal Perbandingan Trigonometri Sudut Istimewa

Apabila kamu membutuhkan aneka contoh soal dari berbagai jenjang pendidikan dan mata pelajaran lengkap dengan pembahasannya, Tirto memiliki kumpulan artikel tersebut. Silakan klik tautan di bawah untuk mendapatkan soal dalam bentuk PDF.

Link Artikel Kumpulan Soal