Contoh Soal Peluang Kejadian Saling Bebas dan Jawabannya

tirto.id - Materi peluang kejadian saling bebas dipelajari di kelas 12 SMA. Untuk lebih memahami mengenai peluang kejadian saling bebas, maka perlu melakukan latihan soal.

Dalam Matematika, khususnya dalam teori peluang, kejadian saling bebas adalah dua kejadian atau lebih yang tidak saling memengaruhi.

Misalnya, ketika kita melemparkan sebuah koin dan sebuah dadu. Koin menunjukkan gambar dan dadu menunjukkan angka 6.

Maka, hasil lemparan koin tidak ada hubungannya sama sekali dengan lemparan dadu. Peristiwa ini disebut dengan kejadian saling bebas.

Rumus peluang kejadian bebas adalah P(A∩B) = P(A) × P(B).

Keterangan:

P(A ∩ B) = Peluang kejadian A dan B

P(A) = Peluang kejadian A

P(B) = Peluang kejadian B

Untuk lebih memahami teori peluang kejadian peluang bebas, simak contoh soal berikut ini.

Contoh Soal Peluang Kejadian Saling Bebas dan Jawaban

1. Sebuah kartu dipilih secara acak dari 52 tumpukan kartu. Jika E adalah kejadian terpilih kartu ace, dan F adalah kejadian terpilih kartu spade, tunjukkan bahwa E dan F adalah kejadian saling bebas.

Jawab:

- Menentukan anggota himpunan masing-masing:

E = {ace spade, ace heart, ace diamond, ace clover}, maka n(E) = 4

F = {ace spade, 2, 3,4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Jack, Queen, King}, maka n(F) = 13

E ∩ F = {ace spade}, n(E ∩ F) = 1

- Menentukan peluang masing-masing :

n(s) = 52

P (E) = 𝑛(𝐸)/𝑛(𝑆) = 4/52 = 1/13

P (F) = 𝑛(𝐹)/𝑛(𝑆) = 13/52 = 1/4

𝑃(𝐸∩𝐹)=𝑛(𝐸 ∩𝐹)/𝑛(𝑆) = 1/52

𝑃(𝐸∩𝐹)=𝑃(𝐸)×𝑃(𝐹)

1/52 = 1/13 ×1/4

1/52 = 1/52

Karena berlaku 𝑃(𝐸∩𝐹) = 𝑃(𝐸) × 𝑃(𝐹), maka kejadian E dan F saling bebas.

2. Sebuah kota memiliki satu unit kendaraan pemadam kebakaran dan satu unit kendaraan ambulan yang tersedia dalam keadaan darurat. Peluang bahwa unit kendaraan pemadam kebakaran siap apabila diperlukan adalah 0,98 dan peluang bahwa unit kendaraan ambulan siap apabila diperlukan adalah 0,92. Apabila terjadi peristiwa terbakarnya suatu gedung di kota tersebut, berapa peluang kedua kendaraan tersebut siap beroperasi?

Jawab:

Misalkan P(A) = pemadam kebakaran siap = 0,98

P(B) = peluang ambulance siap = 0,92

Peluang kedua kendaraan tersebut siap dinotasikan dengan P(A ∩ B)

P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

= 0,98 . 0,92

= 0,9016

Jadi peluang kedua kendaraan tersebut siap beroperasi adalah 0,9016.

3. Sebuah kota memiliki dua mobil pemadam kebakaran yang beroperasi bebas satu sama lain. Peluang kedua mobil tersebut tersedia ketika diperlukan adalah 0,16 dan peluang salah satu mobil tersedia ketika diperlukan adalah 0,5. Tentukan peluang mobil lainnya tersedia ketika diperlukan.

Jawab :

Misal:

Kejadian mobil 1 adalah A dan mobil tersedia adalah B. Diketahui peluang kedua mobil P(A ∩ B) adalah 0,16. Sedangkan peluang salah satu mobil tersedia adalah 0,5 atau P(A). Karena kejadiannya saling bebas maka:

P(A ∩ B) = P(A) . P(B)

0,16 = 0,5 . P(B)

P(B) = 0,32.

Jadi, peluang mobil lainnya tersedia ketika diperlukan adalah 0,32.

4. Jika A dan B saling bebas maka tunjukkan bahwa

a. Ac dan B juga saling bebas.

b. A dan Bc juga saling bebas.

c. Ac dan Bc juga saling bebas.

Jawab:

a. Karena Ac ∩ B = B – (A ∩ B) dan maka

P(Ac ∩ B) = P(B) – P(A ∩ B)

dan karena A dan B saling bebas maka P(A ∩ B) = P(A) P(B) sehingga

P(Ac ∩ B) = P(B) – P(A) P(B)

= P(B) (1 – P(A))

= P(B) P(Ac )

= P(Ac ) P(B).

Hal itu berarti, kejadian B dan Ac saling bebas.

b. Karena A ∩ Bc = A – (A ∩ B) dan maka

P(A ∩ Bc) = P(A) – P(A ∩ B) dan karena A dan B saling bebas maka P(A ∩ B) = P(A) P(B) sehingga

P(A ∩ Bc) = P(A) – P(A) P(B)

= P(A) (1 – P(B))

= P(A) P(Bc )

= P(A) P(Bc)

c. Karena P(Ac ∩ Bc ) = P( (A ∪ B) c )

= 1 - P( A ∪ B )

= 1 – ( P(A) + P(B) – P(A ∩ B ) )

= 1 – P(A) – P(B) + P(A) P(B)

= ( 1 – P(A)) (1 - P(B)) = P(Ac ) P(Bc )

dengan mengingat A dan B saling bebas.