25 Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional dan Jawabannya

tirto.id - Ada banyak soal OSN Matematika SMP tingkat nasional yang bisa ditemukan dalam tulisan ini. Setiap contoh soal OSN Matematika SMP sudah ditambahkan kunci jawabannya.

Soal OSN Matematika SMP 2025 tingkat nasional dapat dipelajari peserta untuk meningkatkan kemampuan menjawab pertanyaan ujian. Soal OSN kemungkinan adalah pengembangan lebih lanjut dari konsep dasar sehingga peserta perlu memahami kemungkinan variasi pertanyaan yang muncul.

OSN Matematika tingkat nasional merupakan babak terakhir dalam perlombaan ini. Peserta harus mengerahkan segala kemampuannya untuk menjadi yang terbaik dan menjadi pemenang.

Contoh Soal OSN Matematika SMP Tingkat Nasional dan Jawaban

Berikut ini disajikan berbagai contoh soal OSN Matematika SMP tingkat nasional yang sudah dilengkapi kunci jawaban. Jenis soal berupa isian singkat dan esai

Soal isian singkat

1. Ada 4 orang perawat menjaga pasien Covid-19, yaitu Andi, Budi, Citra dan Deni. Perawat Andi menjaga pasien setiap 2 hari sekali, Perawat Budi menjaga pasien setiap 3 hari sekali, Perawat Citra menjaga pasien setiap 4 hari sekali, dan Perawat Deni menjaga pasien setiap 5 hari sekali. Karena pada hari senin pasien covid penuh, sehingga pada tanggal tersebut keempat perawat pertama kali menjaga pasien Covid-19 bersama-sama. Ketika mereka akan berjaga Bersama-sama untuk ketiga kalinya, Andi tidak bertugas. Pada hari apa mereka dapat bertugas kembali Bersama-sama untuk ketiga kalinya dan siapa saja yang bertugas di hari tersebut?

Jawaban: Hari:Sabtu. Perawat: Budi, Citra, dan Deni.

2. Ada dua buah bilangan yakni m dan n. Nilainya yaitu:

m=202120212021 x 2020202020202020

n=202020202020 x 2021202120212021

Berapakah nilai dari 2021^m-n?

Jawaban: 1

3. Misalnya k bilangan bulat positif. Nilai k yang memenuhi 9k²-9k+2 / 6k²-28k+16 bilangan bulat positif adalah…

Jawaban: k=4 dan k=15

4. Suatu lingkaran diketahui memiliki pusat di titik P (-10,-2). Lingkaran tersebut menyinggung parabola y=ax² di suatu titik A(x,y) pada kuadran -II. Diketahui pula suatu garis lurus y=-3x-2 menyinggung parabola pada titik A yang sama. Dengan demikian nilai a= ...

Jawaban: 1

5. Dalam suatu perlombaan final, Andi dan Budi bertanding. Andi dan Budi masing-masing memiliki 1 buah kotak yang berisikan 15 kartu hitam dan 5 kartu putih. Dari kotak masing-masing, mereka mengambil 3 buah kartu satu per satu secara acak tanpa dikembalikan. Andi dan Budi tidak saling mempengaruhi dalam pengambilan masing-masing kartu. Berapa peluang Andi dan Budi memilih kartu secara selang-seling?

Jawaban: 225 / 5776

6. Rata-rata umur A dan B saat ini adalah 15 tahun. Beberapa tahun kemudian, umur C adalah 10 tahun dan rata-rata umur mereka bertiga adalah 20 tahun. Beberapa tahun setelah C berumur 10 tahun, umur D adalah 18 tahun dan rata-rata umur mereka berempat adalah 24 tahun. Berapakah umur E jika umur D adalah 23 tahun dan rata-rata umur mereka berlima adalah 30 tahun?

Jawaban: 34 tahun

7. Pada suatu kompetisi rahasia, 12 orang siswa harus membentuk tiga tim berbeda. Banyaknya anggota setiap tim ditetapkan sesuai dengan akar bilangan asli dari persamaan polinomial berikut:

x³-12x²+47x-60=0

Banyak cara berbeda untuk membentuk tim tersebut adalah...

Jawaban: 3960

8. Diketahui a dan b adalah bilangan prima yang memenuhi persamaan (a²+b)^3a-b=256. Jika x dan y merupakan penyelesaian dari persamaan di atas, maka jumlah dari semua nilai x dan y yang memenuhi adalah….

Jawaban: 10

9. Untuk n anggota himpunan bilangan bulat positif, n dinyatakan dalam basis 2, yakni:

n=a_k2^k+a_k-12^k-1+…+a₁2+a₀,

Dengan a_i bernilai 0 atau 1. Misalkan faktorisasi dari n adalah 3 x 17. Nyatakan n ke dalam basis 2.

Jawaban: (1100112)₂

10. Diketahui a=2k+1 dan b=3k-6 dengan k bilangan bulat positif. Tentukan nilai k sehingga (a/b)²merupakan bilangan bulat positif …

Jawaban: 7

11. Dina menanyakan kepada Rina mengenai peminjaman di Bank X. Rina pernah meminjam uang kepada Bank X sebesar Rp. 1.000.000/tahun sebanyak 6 kali. Uang tersebut dikembalikan di tahun berikutnya. Rina harus mengembalikan uang tersebut dengan ketentuan:

1. Di tahun pertama sebesar Rp1.200.000
2. Di tahun kedua sebesar Rp1.300.000
3. Di tahun ke-tiga sebesar Rp1.350.000
4. Di tahun ke-empat sebesar Rp1.300.000

Namun, Rina tidak mengingat besarnya uang yang harus ia bayarkan di tahun kelima dan keenam. Rina hanya mengingat bahwa besarnya pengembalian uang tahun ke-5 lebih kecil daripada tahun ke-1. Sedangkan, besarnya pengembalian uang tahun ke-6 lebih besar daripada tahun ke-3. Kemudian ia mengingat bahwa median, rata-rata, dan modus tingkat suku bunga sama. Periksalah kemungkinan besarnya uang yang dibayarkan oleh Rina di tahun ke-5 dan ke-6?

Jawaban: K5 < 1.200.000 dan K6 > 1.450.000

12. Dalam suatu permainan, Suci dan Rani mendapatkan skor yang sama. Sehingga untuk menentukan pemenangnya mereka harus melakukan suit (Gunting Batu Kertas). Apabila si Suci berkata pada Rani bahwa ia tidak akan menggunakan “Batu” ketika suit, tentukan berapa peluang Rani akan menang dan peluang terbesar Rani akan menang jika menggunakan Gunting, Batu, atau Kertas?

Jawaban: 1/3, gunting

13. Sisi-sisi suatu segitiga diketahui merupakan akar bilangan asli dari persamaan polinomial berikut:

x³-12x²+47x-60=0

Luas segitiga tersebut adalah ... satuan luas.

Jawaban: 6

14. Misalkan n adalah bilangan bulat terbesar yang didapat dengan cara menyelesaikan pertidaksamaan berikut:

3+9+18+30+…+n< 2021

n

Maka nilai n adalah ....

Jawaban: n=1346

15. Diketahui suatu persamaan a/b + b/a = 2021, dengan ab > 1. Berapakah nilai terkecil ab sehingga a + b merupakan bilangan bulat positif?

Jawaban : 2025 / 2023

16. Misal k bilangan bulat positif. Nilai k yang memenuhi 3k²-3k2 / k2-10k+8 bilangan bulat positif adalah …

Jawaban: 16

17. Suatu lingkaran diketahui memiliki pusat di titik P(11,-2). Lingkaran tersebut menyinggung parabola y = ax²+1 di suatu titik A(x,y) pada kuadran -I. Diketahui pula bahwa suatu garis lurus y = 3x menyinggung parabola di titik A yang sama, maka nilai a= ...

Jawaban: 2

18. Sekolah X memiliki ketentuan dalam penyusunan tim ekstrakurikuler yang ditentukan oleh sekolah tersebut untuk tahun 2024. Ekstrakurikuler ini terdiri dari 5 siswa yang dipilih secara acak dari 25 kandidat, yaitu 12 siswa voli, 8 siswa badminton, dan 5 siswa sepak bola. Berapa peluang terpilihnya 5 siswa, jika sekolah mewajibkan 2 siswa yang terpilih berasal dari voli?

Kunci Jawaban: 286 / 805

19. Dalam suatu permainan tebak angka, setiap angka yang muncul di layar harus diubah ke dalam basis 8 dengan aturan sebagai berikut:

Untuk n anggota himpunan bilangan bulat positif, n dapat dinyatakan dalam basis 8, jika

n=a_k8^k+a_k-18^k-1+…+a₁8+a₀,

maka n dapat dituliskan sebagai

n= (a_ka_k-1a_{k-2 ...} a₁a₀)₈

Angka yang muncul di layar adalah 2021 dan 2050. Berapakah jumlah digit terbesar dari basis kedua angka yang muncul?

Kunci Jawaban: 19

20. Pada suatu kotak terdapat beberapa bola bernomor. Di antara nomor bola tersebut terdapat faktor prima dari 2021, serta akar bilangan asli dari persamaan polinomial berikut:

x³-9x²+24x-20=0

Bila diambil satu bola secara acak, maka peluang terambil bola bernomor genap adalah ...

Kunci Jawaban: 2/5

21. Jika 𝐾 = {𝑥|5 ≤ 𝑥 ≤ 9, 𝑥 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑎𝑠𝑙𝑖}, 𝐿 = {𝑥|7 ≤ 𝑥 < 13, 𝑥 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑐𝑎𝑐𝑎ℎ}, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝐾 ∪ 𝐿 = ...

Jawaban: 𝐾 = {5,6,7,8,9}, 𝐿 = {7,8,9,10,11,12}, 𝐾 ∪ 𝐿 = {5,6,7,8,9,10,11,12}

22. Diketahui himpunan semesta S adalah himpunan bilangan cacah yang kurang dari 20. A adalah himpunan bilangan prima antara 3 dan 20. B adalah himpunan bilangan asli antara 2 dan 15. Komplemen dari 𝐴 ∪ 𝐵 adalah …

Jawaban: 𝑆 = {0,1,2,3, … ,18,19}, 𝐴 = {5,7,11,13,17,19}, 𝐵 = {3,4,5,6, … ,13,14}. Maka 𝐴 ∪ 𝐵 = {3,4,5, … ,13,14,17,19} (𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 = {0,1,2,15,16,18}

Soal esai

23. Diberikan himpunan A = (11,12,13,...,30}. Berapakah banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 4 anggota sehingga jumlah semua anggota tersebut habis dibagi 4?

Pembahasan:

Diketahui Himpunan A ( 11. 12, 13…30}.

Kemudian akan dipilih 4 anggota sehingga jumlah semua anggota tersebut habis dibagi 4. Hal ini kita bisa menggunakan prinsip hasil habis dibagi suatu bilangan, yaitu suatu bilangan bila dibagi 4 mempunyai sisa pembagi sebanyak 4, yaitu 0, 1, 2, dan 3 dengan rincian sebagai berikut:

a. Himpunan yang sisa pembaginya 0 dimisalkan K, sehingga K = {12, 16, 20, 24, 28}

b. Himpunan yang sisa pembaginya 1 dimisalkan L, sehingga K = {13, 17, 21, 25, 29}

c. Himpunan yang sisa pembaginya 2 dimisalkan M, sehingga M = {14, 18, 22, 26, 30}

d. Himpunan yang sisa pembaginya 3 dimisalkan N, sehingga N = {11, 15, 19, 23, 27}

Dengan demikian, banyak himpunan bagian dari A yang memiliki 4 anggota sehingga jumlah semua anggota tersebut habis dibagi 4 terdiri dari 3 kasus berbeda, yakni sebagai berikut

Kasus 1: 4 anggota dari himpunan K, L, M, dan N

1. Kemungkinan I: Himpunan K: Karena banyaknya anggota himpunan K ada sebanyak 5 bilangan, nilai untuk mengetahui banyaknya jumlah 4 bilangan berbeda habis dibagi 4, sama halnya dengan menyusun 4 bilangan berbeda dari 5 bilangan yang tersedia, yaitu 5C4=5. Contoh: 12 + 16 + 20 + 24 = 72

2. Kemungkinan II: Himpunan L: Karena banyaknya anggota himpunan L ada sebanyak .5 bilangan, maka banyak cara yang mungkin adalah 5C4=5. Contoh: 13 + 17 + 21 + 25 = 72

3. Kemungkinan III: Himpunan M: Karena banyaknya anggota himpunan M ada sebanyak 5 bilangan, maka banyak cara yang mungkin 5C4=5. Contoh: 14 + 18 + 22 + 26 = 80

4. Kemungkinan IV: Himpunan N: Karena banyaknya anggota himpunan N ada sebanyak 5 bilangan, maka banyak cara yang mungkin adalah 5C4=5. Contoh: 11 + 15 + 19 + 23 = 68

Kasus 2:2 anggota dari Himpunan tertentu dengan 2 anggota himpunan lainnya.

1. kemungkinan I: 2 anggota dari Himpunan K dan 2 anggota dari Himpunan M. Untuk mengetahui banyaknya jumlah 4 bilangan berbeda habis dibagi 4, sama halnya dengan menyusun 4 bilangan berbeda dari 2 masing-masing bilangan yang tersedia di himpunan A dan M, yaitu 5C2 x 5C2 = 10 x 10 = 100. Contoh: 12 + 16 + 14 + 18 = 60

2. Kemungkinan II: 2 anggota dari Himpunan L dan 2 anggota dari himpunan N. Untuk mengetahui banyaknya jumlah 4 bilangan berbeda habis dibagi 4, sama halnya dengan menyusun 4 bilangan berbeda dari 2 masing-masing bilangan yang tersedia di himpunan I dan N, yaitu 5C2 x 5C2 = 10 x 10 = 100. Contoh: 13 + 17 + 11 + 15 = 56

Kasus 3:2 anggota dari himpunan tertentu, I anggota dari himpunan lainnya dan I anggota lagi dari himpunan lainnya yang lain

1. Kemungkinan I: 2 anggota dari himpunan K dengan 1 anggota dari himpunan L dan I anggota dari himpunan N. Sehingga, banyak cara yang mungkin adalah 5C2 x 5C1 x 5C1 = 10 x 5 x 5 = 250. Contoh: 12 + 16 + 13 + 11 = 52

2. Kemungkinan II: 2 anggota dari himpunan.L dengan 1 anggota dari himpunan M dan 1 anggota dari himpunan K. Sehingga, banyak cara yang mungkin adalah 5C2 x 5C1 x 5C1 = 10 x 5 x 5 = 250. Contoh: 13 + 17 + 14 + 12 = 56

3. Kemungkinan III: 2 anggota dari himpunan M dengan» 1 anggota dari himpunan N dan 1 anggota dari himpunan L. Sehingga, banyak cara yang mungkin adalah 5C2 x 5C1 x 5C1 = 10 x 5 x 5 = 250. Contoh: 14 + 18 + 11 + 13 = 56

4. Kemungkinan IV: 2 anggota dari himpunan N dengan 1 anggota dari himpunan A dan 1 anggota dari himpunan M. Sehingga, banyak cara yang mungkin adalah 5C2 x 5C1 x 5C1 = 10 x 5 x 5 = 250. Contoh: 11 + 15 + 12 + 14 = 52

"Sedangkan untuk 3 anggota dari himpunan tertentu dengan 1 anggota dari himpunan yang lainnya tidak terpenuhi."

Oleh karena itu, total banyaknya cara seluruh kasus yang ada adalah sebagai berikut. Banyaknya kasus 1 + banyak kasus 2 + banyak kasus 3 = 5 x 4 + 100 x 2 + 250 x 4

= 20 + 200 + 1000

= 1220

Kesimpulan: Jadi, banyak himpunan bagian A yang memiliki 4 anggota sehingga jumlah semua anggota tersebut habis dibagi 4 adalah 1.220 cara.

24. Himpunan bilangan bulat dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan jika hasil penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat dikatakan tidak tertutup terhadap operasi pembagian karena ada hasil bagi dari sepasang bilangan bulat yang bukan bilangan bulat.

Jika A = {0,2,4,6,....} adalah himpunan bulat positif genap,maka pernyataan berikut yang benar adalah …

a) Himpunan A tertutup terhadap operasi perkalian saja

b) Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan saja

c) Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

d) Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan pengurangan

Diketahui:

- Himpunan bilangan bulat dikatakan tertutup terhadap operasi penjumlahan jika hasil penjumlahan dua bilangan bulat adalah bilangan bulat.

- Himpunan bilangan bulat dikatakan tidak tertutup terhadap operasi pembagian karena ada hasil bagi dari sepasang bilangan bulat yang bukan bilangan bulat.

Jadi, pernyataan yang paling benar adalah Himpunan A tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.

25. Umur ayah 4 tahun yang lalu adalah 2/3 kali umur ayah pada c tahun yang akan datang, (c adalah bilangan bulat positif). Sekarang, umur ayah adalah 27 tahun lebihnya dari 1/5 umurnya pada 7 tahun yang lalu. Tentukan nilai c!

Jawaban:

Misalkan umur ayah sekarang adalah x tahun. Berdasarkan informasi masalah di atas, dapat dituliskan 𝑥 − 4 =2/3(𝑥 + 𝑐) → 𝑥 = 2𝑥 + 12 𝑥 =1/5(𝑥 − 7) + 27 → 4𝑥 − 128 = 0 → 𝑥 = 32

Substitusikan 𝑥 = 32 𝑘𝑒 𝑥 = 2𝑐 + 12 diperoleh 32 = 2𝑐 + 12 atau𝑐 = 10

Jadi, umur ayah saat ini adalah 32 tahun.

25. Di atas meja terdapat dua set kartu. Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1 sampai dengan 13.

Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut. Berapa peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13?

Jawaban:

Menurut informasi pada soal bahwa Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing-masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1 sampai dengan 13, maka banyak masing-masing kartu ada 26 dan total semua kartu sebanyak 104. Banyak kartu berwarna merah ada 26, maka peluang terambil kartu berwarna merah =26/104.

Banyak kartu bernomor 13 ada 8 – 2 = 6, maka peluang terambil kartu bernomor 13 =6/104

Dengan demikian, peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 = 26/104 +6/104 =8/26

Jadi, peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah 826.