tirto.id - Contoh soal SPLTV, pembahasan, dan jawabannya dapat dijadikan referensi dalam menghadapi ujian. Siswa bisa melaksanakan latihan soal secara mandiri maupun bersama guru.
Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah sistem persamaan yang memuat lebih dari satu persamaan linear tiga variabel dengan himpunan variabel yang sama. Materi SPLTV diajarkan pada siswa kelas X SMA dan diharapkan siswa dapat menyelesaikan permasalahan model matematika untuk memperoleh solusi dari permasalahan yang diberikan.
Selain mempelajari materi SPLTV, siswa kelas X SMA juga mempelajari materi logaritma, bunga majemuk, dan lain-lain. Logaritma adalah suatu operasi hitung dalam matematika yang menjadi inver atau kebalikan dari eksponen. Bunga majemuk merupakan bunga yang dihitung sesuai modal awal dan akumulasi bunga pada periode sebelumnya.
Contoh Soal SPLTV dan Jawabannya
Contoh soal SPLTV dan jawabannya dapat dijadikan bahan latihan dalam persiapan menjelang ujian. Berikut contoh soal SPLTV dan jawabannya lengkap dengan pembahasannya juga.
1. Diketahui persamaan bidang 𝐷 ≡ 3𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 12. Apakah titik-titik berikut terletak pada bidang D?
a. (0, 4, 5)
b. (1, 0, −9)
c. (3, 1, −2)
d. (4, 1, −4)
Pembahasan
Untuk mengetahui titik terletak pada bidang dengan mengganti nilai 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 ke dalam persamaan bidang. Jika menghasilkan pernyataan yang benar, maka titik tersebut terletak pada bidang
a. (0 ,4, 5)
3.0 + 4.4 − 5 = 12
⇔ 0 + 16 − 5 = 12
⇔ 11 = 12 pernyataan salah. Jadi, titik (0,4,5) tidak terletak pada bidang D
b. (1, 0, −9)
3.1 + 4.0 − (−9) = 12
⇔ 3 + 0 + 9 = 12
⇔ 12 = 12 pernyataan benar. Jadi, titik (1,0, −9) terletak pada bidang D
c. (3, 1, −2)
3.3 + 4.1 − (−2) = 12
⇔ 9 + 4 + 2 = 12
⇔ 15 = 12 pernyataan salah. Jadi, titik (3,1, −2) tidak terletak pada bidang D
d. (4, 1, −4)
3.4 + 4.1 − (−4) = 12
⇔ 12 + 4 + 4 = 12
⇔ 20 = 12 pernyataan salah. Jadi, titik (4,1, −4) tidak terletak pada bidang D
2. Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan metode substitusi
{𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −5
{2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1
{ 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3
Pembahasan
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −5 … (1)
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1 … (2)
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3 … (3)
Isolasi 𝑥 dari persamaan (1), sehingga diperoleh
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −5
⇔ 𝑥 = −5 + 𝑦 − 2𝑧 … (4)
Substitusi persamaan (4) ke dalam persamaan (2)
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −1
⇔ 2(−5 + 𝑦 − 2𝑧) + 𝑦 + 𝑧 = −1
⇔ −10 + 2𝑦 − 4𝑧 + 𝑦 + 𝑧 = −1
⇔ 3𝑦 − 3𝑧 = 9 … (5)
Substitusi persamaan (4) ke dalam persamaan (3)
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 3
⇔ (−5 + 𝑦 − 2𝑧) + 𝑦 − 𝑧 = 3
⇔ 2𝑦 − 3𝑧 − 5 = 3
⇔ 2𝑦 − 3𝑧 = 8 … (6)
Isolasi 𝑦 dari persamaan (5), sehingga diperoleh
3𝑦 − 3𝑧 = 9
⇔ 3𝑦 = 9 + 3𝑧
⇔ 𝑦 = 3 + 𝑧 … (7)
Substitusi persamaan (7) ke dalam persamaan (6)
2𝑦 − 3𝑧 = 8
⇔ 2(3 + 𝑧) − 3𝑧 = 8
⇔ 6 + 2𝑧 − 3𝑧 = 8
⇔ −𝑧 = 8 − 2
⇔ 𝑧 = −2
Substitusi 𝑧 = −2 ke dalam persamaan (7)
𝑦 = 3 + 𝑧
⇔ 𝑦 = 3 + (−2)
⇔ 𝑦 = 1
Substitusi 𝑦 = 1 dan 𝑧 = −2 ke dalam persamaan (4)
𝑥 = −5 + 𝑦 − 2𝑧
⇔ 𝑥 = −5 + 1 − 2(−2)
⇔ 𝑥 = −5 + 1 + 4
⇔ 𝑥 = 0
Jadi, penyelesaian 𝑥 = 0, 𝑦 = 1 dan 𝑧 = −2
3. Tentukan penyelesaian SPLTV berikut dengan cara substitusi
{𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 8
{2𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 = 10
{2𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 = 4
Pembahasan
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 8 . . . (1)
2𝑎 + 2𝑏 + 4𝑐 = 10 ⇔ 𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 5 . . . (2)
2𝑎 + 4𝑏 + 2𝑐 = 4 ⇔ 𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 2 . . . (3)
Dari persamaan (1)
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 8
⇔ 𝑎 = 8 − 2𝑏 − 3𝑐 . . . (4)
substitusi persamaan (4) ke dalam persamaan (2)
𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 5
⇔ (8 − 2𝑏 − 3𝑐) + 𝑏 + 2𝑐 = 5
⇔ −𝑏 − 𝑐 = −3 . . . (5)
substitusi persamaan (4) ke dalam persamaan (3)
𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 2
⇔ (8 − 2𝑏 − 3𝑐) + 2𝑏 + 𝑐 = 2
⇔ −2𝑐 = − 6
⇔ 𝑐 = 3
substitusi c =3 ke persamaan (5)
−𝑏 − 𝑐 = − 3
⇔ −𝑏 − 3 = −3
⇔ −𝑏 = −3 + 3
⇔ −𝑏 = 0
⇔ 𝑏 = 0
substitusi 𝑏 = 0 dan c = 3 ke persamaan (1)
𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐 = 8
⇔ 𝑎 + 2.0 + 3.3 = 8
⇔ 𝑎 + 0 + 9 = 8
⇔ 𝑎 + 9 = 8
⇔ 𝑎 = 8 − 9
⇔ 𝑎 = − 1
Jadi, penyelesaian 𝑎 = −1, 𝑏 = 0 dan 𝑐 = 3
4. Diketahui SPLTV berikut
{2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
{3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −5
{ 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 5
Tentukan penyelesaian dengan cara substitusi
Pembahasan
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4 … (1)
3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −5 … (2)
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 5 … (3)
Persamaan (1) diubah sehingga diperoleh
2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 4
⇔ 𝑦 = 4 − 2𝑥 − 𝑧 … (4)
Substitusikan persamaan (4) ke dalam persamaan (2)
3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −5
⇔ 3𝑥 − (4 − 2𝑥 − 𝑧) + 2𝑧 = −5
⇔ 3𝑥 − 4 + 2𝑥 + 𝑧 + 2𝑧 = −5
⇔ 3𝑥 + 2𝑥 + 𝑧 + 2𝑧 = −5 + 4
⇔ 5𝑥 + 3𝑧 = −1 … (5)
Substitusi persamaan (4) ke dalam persamaan (3)
𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 5
⇔ 𝑥 + 2(4 − 2𝑥 − 𝑧) + 2𝑧 = 5
⇔ 𝑥 + 8 − 4𝑥 − 2𝑧 + 2𝑧 = 5
⇔ −3𝑥 + 8 = 5
⇔ −3𝑥 = 5 − 8
⇔ −3𝑥 = −3
⇔ 𝑥 = 1 … (6)
Substitusi 𝑥 = 1 ke dalam persamaan (5)
⇔ 5𝑥 + 3𝑧 = −1
⇔ 5.1 + 3𝑧 = −1
⇔ 5 + 3𝑧 = −1
⇔ 3𝑧 = −1 − 5
⇔ 3𝑧 = −6
⇔ 𝑧 = −2
Substitusi 𝑥 = 1 dan 𝑧 = −2 ke dalam persamaan (4)
𝑦 = 4 − 2𝑥 − 𝑧
⇔ 𝑦 = 4 − 2.1 − (−2)
⇔ 𝑦 = 4 − 2 + 2
⇔ 𝑦 = 4
Jadi, diperoleh penyelesaian 𝑥 = 1, 𝑦 = 4, dan 𝑧 = −2
5. Tentukan banyak penyelesaian dari sistem persamaan berikut
{𝑥 + 2𝑦 − 5𝑧 = 16
{3𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 4
{2𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = 8
Pembahasan
Gunakan metode alternatif.
Sederhanakan persamaan (3)
2𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = 8 bagi 2 diperoleh 𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 4
Tidak ada di antara ketiga persamaan yang sama ruas kirinya, sehingga SPLTV memiliki satu penyelesaian.
Jadi, SPLTV memiliki tepat satu penyelesaian.
Contoh soal yang lebih lengkap dapat diakses melalui tautan berikut.
Penulis: Nurul Azizah
Editor: Yulaika Ramadhani
