Contoh Soal Distribusi Normal, Jawaban, dan Pembahasannya

tirto.id - Contoh soal materi Distribusi Normal beserta jawaban dan pembahasannya dapat dipelajari sebagai latihan belajar siswa.

Distribusi normal adalah distribusi probabilitas yang kerap digunakan dalam analisis statistika. Alasan distribusi normal atau distribusi Gauss banyak diterapkan ialah karena penggunaannya yang mampu diterapkan di banyak situasi.

Salah satu fungsi penerapan distribusi probabilitas dalam analisis statistika adalah mampu membuat kesimpulan dari sampel yang digunakan.

Di samping itu, distribusi normal begitu sesuai dengan distribusi empiris, sehingga dapat dikatakan kejadian di alam semesta, industri, atau penelitian akan membentuk distribusi tersebut.

Distribusi normal muncul pertama kali pada 1773, sewaktu De Mouvre mengembangkan bentuk matematis dari kurva normal yang menjadi dasar statistik induksi.

Kemudian dalam perjalanannya, Gauss menurunkan matematis distribusi normal menjadi lebih detail setelah meneliti kesalahan pengukuran berulang dari ukuran kuantitas yang sama. Hal ini juga yang menyebabkan distribusi normal dikenal sebagai distribusi Gauss.

Distribusi normal direpresentasikan dengan variabel random X atau variabel random normal yang distribusinya bergantung pada dua parameter meliputi mean (μ) dan deviasi standar (σ). Adapun fungsi kepadatan dari variabel random X dengan rata-rata μ dan variansi σ2 sebagai berikut:

𝑓(𝑥)=𝜎 𝑁 (𝑥; 𝜇, 𝜎) = 1 𝜎/√2𝜋∙𝑒−1/2(𝑥-𝜇/𝜎)2

x = peubah acak normal yang nilainya −∞<𝑥<∞,

𝜇= rata-rata

𝜎= standar deviasi

𝜋= konstanta yang nilainya 3,14159

𝑒= konstanta yang nilainya 2,72828

f(x)= fungsi kepadatan peluang.

Contoh Soal Distribusi Normal dan Pembahasannya

Dalam mempelajari materi distribusi normal diperlukan contoh soal sehingga dapat membantu memahaminya. Berikut ini contoh soal distribusi normal dan pembahasannya:

1. Gunakanlah tabel distribusi normal standar untuk menghitung luas daerah antara z = -1.97 sampai dengan z = 0.86

Jawaban:

𝑃 (−1.97 < 𝑧 <0.86)

𝑃 (−1.97 < 𝑧 <0.86) = 𝑃 (𝑧 < 0.86) – 𝑃 (𝑧 < −1.97)

= 0.8051 – 0.0244

= 0.7807

2. Carilah nilai z = k pada distribusi normal standar sehingga 𝑃 (𝑘 < 𝑧 < −0.18) = 0.4197

Jawaban:

𝑃 (𝑘 < 𝑧 <−0.18) = 0.4197 𝑃 (𝑘 < 𝑧 < −0.18)

= 𝑃 (𝑧 < −0.18) – 𝑃 (𝑧 < 𝑘) 0.4197

= 0.4286 – 𝑃 (𝑧 < 𝑘) 𝑃 (𝑧 < 𝑘)

= 0.4286 - 0.4197 𝑃 (𝑧 < 𝑘)

= 0.0089

Dari tabel diperoleh 𝑧 = −2.37

3. Rata-rata jarak tempuh bus pada suatu perusahaan travel yaitu 5000 km perbulan dan standar deviasinya 1200 km yang mengikuti sebaran normal. Berapakah probabilitas bus menempuh jarak antara 3400 km dan 6500 km dalam 1 bulan?

Diketahui:

𝜇 = 5000

𝜎 = 1200

𝑥1 = 3400

𝑥2 = 6500

Jawaban:

𝑧1=𝑥1−𝜇 /𝜎 = 3400−5000 / 1200 = −1.33

𝑧2 = 𝑥2−𝜇 /𝜎 = 6500−5000 / 1200 = 1.25

𝑃 (−1.33 < 𝑧 < 1.25) = 𝑃 (𝑧 < 1.25) – 𝑃 (𝑧 < −1.33) = 0.8944 – 0.0918 = 0.8026

Jadi probabilitas bus menempuh jarak antara 3400 km dan 6500 km dalam 1 bulan yaitu 0,8026.

4. Disebutkan sebuah populasi memiliki distribusi normal dengan rata-rata 50 dan deviasi standar 10. Tentukan nilai z apabila nilai observasinya adalah 60.

Jawaban:

z = (X – 𝜇) / 𝜎

z = (60-50) / 10 = 1

5. Diketahui sebuah populasi memiliki distribusi normal dengan rata-rata 90 dan deviasi standar 15. Ditanyakan berapa nilai observasi (X) apabila nilai z adalah 1.5?

Diketahui:

𝜇 = 90

z = 1.5

𝜎 = 15

Jawaban:

X=𝜇 + z × 𝜎

= 90 + 1.5 × 15

= 112.5