Contoh Soal Garis Singgung Lingkaran Kelas 11 dan Jawabannya

tirto.id - Materi garis singgung lingkaran bagi kelas 11 akan dapat dipahami lebih mendalam dengan lebih sering mengerjakan latihan soal.

Soal-soal tersebut membantu penghitungan terkait garis singgung dari berbagai sisi. Lalu, apa itu garis singgung pada lingkaran?

Garis singgung lingkaran merupakan garis yang memotong sebuah lingkaran pada satu titik. Garis ini tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran. Titik ini disebut dengan titik singgung lingkaran.

Jenis garis singgung lingkaran memiliki dua sifat, yaitu melalui sebuah garis di luar lingkaran dan melalui titik pada lingkaran.

Jika garis lewat di luar lingkaran, akan diperoleh dua buah garis singgung. Sebaliknya, satu buah garis singgung akan diperoleh jika garis melewati titik lingkaran.

Materi garis singgung lingkaran juga diterapkan pada kehidupan sehari-hari. Contoh penerapannya yaitu pada pemasangan gir dan rantai sepeda motor, pemasangan karet streng di roda dinamo pada pompa, hingga pengikatan tumpukan pipa air.

Apa Rumus Garis Singgung Lingkaran?

Rumus persamaan garis singgung lingkaran bisa dibentuk apabila diketahui nilai persamaan lingkarannya. Persamaan lingkaran yaitu x² + y² + Ax + By + C = 0.

Setelah itu dapat ditentukan rumus persamaan garis singgung lingkaran sebagai berikut:

1. Gradien garis singgung lingkaran

y - yp = m (x - xp) +- r √m² + 1

xp,yp = pusat lingkaran

r = jari-jari

m = gradien garis singgung lingkaran

2. Titik pada lingkaran/garis singgung (k = 0)

(x-xp) (x1-xp) + (y-yp)(y1-yp) = r²

Dari satu titik di luar lingkaran, nantinya bisa dibuat dua garis singgung lingkaran. Nilai gradien garis singgung ditemukan memakai persamaan berikut:

y1 - yp = m (x1 - xp) +- r √m² + 1,

y - y1 = m (x - x1)

Panjang garis singgung dari titik di luar ke titik singgung:

d = √x1² + y1² + Ax1 + By1 + C

Contoh Soal Garis Singgung Lingkaran Kelas 11 beserta Jawabannya

Berikut ini beberapa contoh soal garis singgung lingkaran kelas 11 beserta kunci jawabannya yang bisa dijadikan bahan latihan siswa saat akan menghadapi ujian.

1. Tentukan pusat dan jari-jari dari lingkaran dengan persamaan x² + y² = 36!

Penyelesaian:

x² + y² = 36

x² + y² = r²

maka:

r² = 36

r = √36

r = ± 6

Karena jari-jari tidak bernilai negatif, nilai jari-jari menjadi positif yaitu r = 6

2. Sebuah lingkaran yang memiliki titik pusat (-4, -9) dan berjari-jari 5 memiliki persamaan lingkaran …

Penyelesaian:

(x - a)² + (y - b)² = r²

(x – (-4))² + (y – (-9))² = 5²

(x + 4)² + (y + 9)² = 5²

x² + 8x + 16 + y² + 18y + 81 = 25

x² + y² + 8x + 18y + 16 + 81 – 25 = 0

x² + y² + 8x + 18y + 72 = 0

Dengan demikian persamaan lingkaran pada titik pusat (-4, -9) dan jari-jari 5 adalah x² + y² + 8x + 18y + 72 = 0

3. Tentukan pusat dan jari-jari pada persamaan lingkaran berikut:

x² + y² − 8𝑥 + 10𝑥 − 18 = 0

Penyelesaian :

𝑥² + 𝑦² − 8𝑥 + 10𝑥 − 18 = 0

A= -8, B = 10, C = -18

𝑝 (−𝐴/2 , −𝐵/2) = 𝑃 (− (−8)/2 , - 10/2) = 𝑃(4, −5)

A = 4, b = -5, C = -18

𝑟 = √𝑎² + 𝑏² − 𝐶² = √4² + (−5)² − (−18) = √16 + 25 + 18

= √49 = 7

Sehingga pusat dan jari jarinya adalah P(4, -5) dan r = 7

4. Tentukan kedudukan titik (3, 5) terhadap lingkaran dengan persamaan(x-3)² + (y-2)² = 16!

Penyelesaian:

Substitusi titik ke dalam persamaan lingkaran,

(x-3)² + (y-2)² = 16

(3-3)² + (5-2)² = 16

0² + 3² = 16

0 + 9 = 16

9 < 16

Karena 9 < 16, titik (3, 5) berada di dalam lingkaran (x – 3)² + (y – 2)² = 16

5. Suatu kapal pesiar yang ditempatkan pada koordinat (5, 12) memiliki radar dengan jangkauan 45 km ke segala arah. Tulislah persamaan yang memodelkan jangkauan maksimum dari radar kapal tersebut!

Penyelesaian:

Dengan menggunakan posisi kapal pesiar, (5, 12), sebagai titik pusat, diperoleh a = 5, b = 12, dan r = 45.

Sehingga, jangkauan maksimum dari radar tersebut dapat dimodelkan sebagai:

(x – 5)² + (y – 12)² = 452

(x – 5)² + (y – 12)² = 2.025

6. Tentukan posisi garis y = 3x - 1 terhadap lingkaran x² + y² + 2x + 2y - 4 = 0!

Penyelesaian:

Pertama, cari persamaan kuadrat dengan mensubstitusikan terlebih dahulu persamaan garis y = 3x - 1 ke dalam persamaan lingkaran x² + y² + 2x + 2y - 4 = 0, sehingga:

x² + (3x - 1)² + 2x + 2(3x - 1) - 4 = 0

x² + 9x² - 6x + 1 + 2x + 6x - 2 - 4 = 0

10x² + 2x - 5 = 0

Setelah diperoleh persamaan kuadratnya, cari nilai diskriminannya:

10x² + 2x - 5 = 0, a = 10, b = 2, c = -5.

D = b² - 4ac

D = 2² - 4(10)(-5)

D = 2² + 200

D = 222

Karena nilai diskriminannya adalah 222 dan 222 > 0, maka garis y = 3x - 1 memotong lingkaran x² + y² + 2x + 2y - 4 = 0 di dua titik.

7. Persamaan garis singgung di titik A(5, 12) pada lingkaran x² + y² = 169 adalah ...

Penyelesaian:

Diketahui:

A(5, 12) artinya x1 = 5, dan y1 = 12

x² + y² = 169 artinya r² = 169

Rumus persamaan garis singgung lingkaran x1.x + y1.y = r²

Subtitusikan

x1 x + y1 y = r²

5 x + 12 y = 169

Sehingga rumus persamaan garis singgung lingkaran adalah 5 x + 12 y = 169

8. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran L = x² + y² = 9 dengan gradien 2

Penyelesaian:

L = x² + y² = 9 dengan gradien 2 berarti m = 2, r = 3

PGS = y = mx +- r√1+m²

y = 2x +- 3√1+2²

y = 2x += 3√5

Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 2x + 3√5 dan y = 2x - 3√5

9. Diketahui ada dua lingkaran dengan jari-jari 6cm dan 2 cm. Jarak dari kedua titik pusat lingkaran yaitu 17 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan di dalamnya?

Penyelesaian:

d = √j^2 – (R + r)^2

d = √17^2 – (6+ 2)^2

d = √289 – 8^2

d = √289 – 64

d = √225

d = 15 cm

10. Garis PQ memiliki titik tengah S menyinggung lingkaran O dengan jari-jari 5 cm. Titik S tersebut membentuk segitiga SQO dengan SO sebagai jari-jari lingkaran, OSQ membentuk sudut siku-siku, dan panjang QR yaitu 8 cm. Berapa luas segitiga SQO?

Penyelesaian:

QS = √(OQ)^2 – (OS)^2

QS = √(8 + 5)^2 – 5^2

QS = √144

QS = 12 cm

Dengan demikian luas segitiga SQO = OS x QS/2, maka luas segitiga SQO = 5 x 12/2 = 30 cm persegi

11. Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat A dan B, dengan panjang jari-jari masing-masing 7 cm dan 2 cm. Jika jarak AB = 13 cm, maka panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah…

Penyelesaian:

CB = √(AB)² - (AC)²

CB = √13² - 5²

CB = √169 - 25

CB = √144

CB = 12 cm

Garis singgung kedua lingkaran sejajar dan sama panjang dengan garis CB yakni 12 cm.

12. Panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran 8 cm. Jika jarak titik pusat kedua lingkaran 17 cm dan panjang jari-jari salah satu lingkaran 10 cm, maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah…

Penyelesaian:

Jika lingkaran A dan B dengan jarak titik pusat AB dan panjang garis singgung persekutuan dalam yaitu PQ, maka

AB = 17 cm

PQ = 8 cm

RA = 10 cm

RB = ?

(PQ)²= (AB)² - (RA + RB)²

8² = 17² - (10 + RB)²

(10 + RB)² = 17² - 8²

(10 + RB)² = 289 - 64

(10 + RB)² = 225

10 + RB = √225

10 + RB = 15

RB = 15-10

RB = 5 cm

13. Diketahui dua lingkaran jari-jari lingkaran masing-masing 10 cm dan 6 cm. Jika jarak antara kedua pusat lingkaran adalah 20 cm maka panjang garis singgung persekutuan dalam kedua lingkaran adalah….

Penyelesaian:

d = √p² - (R + r)²

d = √20² - (10 +6)²

d = √400 - 256

d = √144

d = 12 cm

14. Panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran adalah 12 cm dan jarak dua titik pusat lingkaran tersebut adalah 13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 8 cm, panjang jari-jari lingkaran lain adalah…

Penyelesaian:

R = 8, p = 13, l = 12, r = ?

R - r = √p² - l²

8 - r = √13² - 12²

8 - r = √169 - 144

8 - r = √25

8 - r = 5

r = 3 cm

15. Diketahui dua buah lingkaran dengan pusat di A dan B, masing-masing berjari-jari 34 cm dan 10 cm. Garis CD merupakan garis singgung persekutuan luar. Bila CD = 32 cm, panjang AB =…

Penyelesaian:

Dalam menentukan jarak pusat dua lingkaran, diketahui garis singgung persekutuan luar sebagai berikut:

l² = p² - (R - r)²

p = √l² + (R - r)²

p = √32² + 24²

p = √1024 + 576

p = √1600

p = 40 cm