Contoh Soal Turunan Pertama, Jawaban, dan Pembahasannya

tirto.id - Turunan fungsi merupakan salah satu hal yang paling dasar dipelajari saat belajar mengenai fungsi aljabar. Turunan fungsi aljabar menghasilkan fungsi baru hasil dari penurunan pangkat dari fungsi sebelumnya. Pastinya dalam menurunkan pangkat dan fungsi ada aturannya.

Konsep penggunaan turunan fungsi ajabar ini sangat berguna dalam kehidupan sehari hari, karena merupakan bentuk lain dari limit fungsi yang mendekati nol, serta bisa juga digunakan untuk mengukur seberapa cepat suatu fungsi berubah terhadap perubahan input-nya.

Hal ini bisa dicontohkam saat pencampuran bahan bangunan untuk membuat tiang dan langit-langit sehingga tetap terlihat indah tapi tetap kokoh. Bisa juga diterapkan pada menentukan laju pesawat dengan cepat.

Turunan fungsi pertama (derivatif pertama) biasanya diajarkan pada mata pelajaran matematika pada kelas 11 SMA. Rumus turunan fungsi dinyatakan sebagai: f(x) = x^n adalah f'(x) = n * x^(n-1).

Contoh Soal Turunan Pertama, Jawaban, dan Pembahasannya

Berikut ini contoh soal turunan pertama beserta jawaban dan pembahasannya:

1. Diketahui f(x) = 2x^3 + 3x – 4. Tentukan turunannya ...

Penyelesaian:

• f(x) = 2x^3 +3x-4
• f’(x) = 2 . 3x^3-1 + 3.1x^1-1 -0
• f’(x) = 6x^2 + 3

2. Diketahui f’(x) adalah turunan dari f(x) = 5x^3 + 2x^2 + 6x + 12,tentukan nilai f’(3) adalah....

Penyelesaian:

• f(x) = 5x^3 +2x^2 + 6x + 12
• f’(x) = 15x^2+ 4x +6
• f’(3) = 15 . 3^2 +4 . 3 + 6
• = 135 + 12 + 6
• = 153

3. Diketahui fungsi f(x) = 3x^4 + 2x^3 - x + 2 dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai dari f’(1) adalah...

Penyelesaian:

• f (x) = 3x^4 + 2x^3– x + 2
• f’ (x) = 12x^3 + 6x^2– 1
• f’(1) = 12 + 6 - 1
• = 18 – 1
• =17

4. Diketahui fungsi f(x) = x^5 +10x^4 +5x^2 -3x-10 dan f’ adalah turunan pertama dari f. Nilai f’ (1) adalah....

Penyelesaian:

• f(x) = x^5 +10x^4 +5x^2 -3x-10
• f’(x) = 5x^4 + 40x^3 + 10x – 3 -0
• f’(1)= 5.1 + 40.1 + 10.1 – 3 − 0
• = 5 + 40 +10 – 3 – 0
• = 52

5. Turunan pertama fungsi f(x) =(3x^2-5)^4 adalah f’(x) =....

Penyelesaian:

• f(x) =(3x^2-5)^4
• f’(x) = (6x – 5 )^4

6. Diketahui f(x) = x^6 + 12x^4 +2x^2 – 6x + 8.Dan f’(x) adalah turunan pertama dari f(x). Nilai f’(1) adalah....

Penyelesaian:

• f(x) = x^6 + 12x^4 +2x^2 – 6x + 8
• f’(x)= 6x^5 + 48x^3 + 4x - 6
• f’(1)= 6.1 + 48.1 +4 - 6
• = 6 + 48 – 6 + 8
• = 56

7. Turunan pertama dari f(x) = sin^3(3x^2 – 2) adalah f‘(x) = …

Penyelesaian:

• f(x) = sin^3 (3x^2– 2)
• f’(x) = sin^(3-1) (3x^2 - 2).3.6x.cos (3x^2– 2)
• = 18x sin^2 (3x^2– 2) cos (3x^2-2)

8. Turunan pertama f(x) = cos^3 x adalah …

Penyelesaian:

• f(x) = cos^3 x
• f’(x) = 3 cos^2 x (-sin x)
• = -3 cos2^ x sin x
• = -3/2 cos x (2 cos x sin x)
• = -3/2 cos x sin 2x

9. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya (4x – 160 + 2000/x)ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah …

Penyelesaian:

• Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 160 + 2000/x
• Biaya proyek dalam x hari : (4x – 160 + 2000/x)x
• f(x) = 4x^2 – 160x + 2000
• Agar biaya minimum :
• f’(x) = 0
• f’(x) = 8x – 160
• 0 = 8x – 160
• 8x = 160
• x = 20 hari

Jadi biaya minimum per hari adalah

• = (4x – 160 + 2000/x) ribu rupiah
• = (4(20) – 160 + 2000/20) ribu rupiah
• = (80 – 160 + 100) ribu rupiah
• = 20 ribu rupiah / 20.000

9. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam (4x – 800 + 120/x) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu … jam.

Penyelesaian:

• Biaya proyek dalam 1 hari : 4x – 800 + 120/x
• Biaya proyek dalam x hari : (4x – 800 + 120/x)x
• f(x) = 4x^2 – 800x + 120
• Agar biaya minimum :
• f’(x) = 0
• f’(x) = 8x – 800
• 0 = 8x – 800
• 8x = 800
• x = 100 jam

10. Jika f(x) = ( 2x – 1 )^2 ( x + 2 ), maka f’(x)

• Penyelesaian:

  f (x) = u , v

  f’(x) = u’ v + uv’

  misal : u (x) = ( 2x – 1 )^2 => u’( x ) = 2 ( 2x - 1 ) ( 2 )

  v (x) = x + 2 => v’ (x) = 1

  = ( 4 ( 2x - 1) ( x + 2 )+( ( 2x - 1)^2) ( 1 )

  = ( 8x - 4 )( x + 2 ) + ( 2x - 1 )^2

  = 8x^2 + 12x – 8 + 4x + 1

  = 12x^2 + 8x – 7

  = ( 2x - 1 )( 6x + 7 )

  Itu tadi beberapa contoh turunan fungsi pertama aljabar, cukup mudah bukan? Asalkan banyak berlatih pasti terbiasa.