15 Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 Semester 1 & Jawaban

tirto.id - Materi soal induksi matematika merupakan salah satu bahan latihan bagi para siswa kelas 11 Semester 1. Siswa dapat menggunakan contoh soal dan jawaban induksi matematika ini sebagai persiapan menghadapi ujian atau bahan untuk belajar.

Contoh soal induksi matematika kelas 11 beserta jawabannya ini membantu siswa agar lebih mendalam saat memahami setiap kasus pertanyaan. Kunci jawaban turut disertai pembahasannya secara detail.

Selain itu, contoh soal induksi matematika kelas 11 bisa langsung digunakan. Siswa tinggal melihat setiap pertanyaan yang ada dan jika kesulitan mengerjakan akan terbantu dengan petunjuk cara mengerjakannya di bagian kunci jawaban.

Rangkuman Materi Induksi Matematika

Induksi Matematika atau Mathematical Induction adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli.

Untuk menyatakan pembuktian pernyataan akan diperlukan dua langkah yaitu langkah dasar bahwa P(a) bernilai benar dan langkah induktif bahwa untuk sembarang bilangan asli k ≥ a, dengan a adalah bilangan asli tertentu, jika P(k) bernilai benar maka P(k+1) juga bernilai benar.

Rumus Induksi Matematika

Materi induksi matematika menjadi salah satu cara untuk membuktikan kebenaran untuk rumus atau pernyataan matematika. Artinya, pembuktian ini untuk melihat sejauh mana pernyataan berlaku bagi setiap kasus. Ada tiga rumus dalam induksi matematika:

• Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
• Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
• Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Penggunaan rumus tersebut menuntut seseorang harus bisa menyatakan pernyataan P(k+1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Selanjutnya, untuk menyatakan persamaan P(k+1), perlu disubsitusikan kuantitas k+1 ke dalam pernyataan P(k)

Kumpulan Contoh Soal Induksi Matematika dan Kunci Jawabannya

1. Buktikan bahwa (n + 1)²< 2n² , untuk semua bilangan bulat positif n >= 3 .

Jawaban:

Misalkan P(n) menyatakan (n + 1) ^ 2 < 2n ^ 2 .

a. Pernyataan P(3), yaitu (3 + 1)²< 2 * 3² dengan jelas bernilai benar.

b. Anggap P(k) / (k + 1)²) < 2k² bernilai benar, kita harus menunjukkan bahwa P(k + 1) juga bernilai benar, yaitu [(k + 1) + 1]²< 2 * (k + 1)^2, Untuk k≥3 diperoleh:

[(k + 1) + 1]² = (k + 1)² + 2(k + 1) + 1

= < 2k² + 2k + 2 + 1

= < 2k² + 4k + 4

= 2 (k + 1)²

Hal ini menunjukkan kebenaran pernyataan jika P(k) benar maka P (k + 1). Oleh karena itu, berdasarkan langkah a dan b menggunakan induksi matematika, dapat disimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 3.

2. Buktikan bahwa n! > 2ⁿ untuk semua bilangan bulat positif n ≥ 4.

Jawaban:

Misalkan P(n) merupakan notasi untuk pernyataan n! > 2n, maka:

a. Pertama harus menunjukkan bahwa P(4) benar. Padahal P (4) menyatakan bahwa

4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 dan 24 = 16, maka P (4) benar.

b. Dianggap bahwa P(k): k! > 2^k benar. Selabjutnya, tunjukkan P(k+1):(k+1)! > 2^k+1 juga bernilai benar.

(k + 1)! = (k + 1) * k!

= > (k + 1) * 2^k

= > 2 * 2^k

= 2^{k + 1}

Sehingga pada langkah induksi ini akan terlihat bahwa kebenaran P (k) mengakibatkan P (k + 1). Jadi, dari langkah a dan b, dapat disimpulkan dengan induksi matematika bahwa P(n) bernilai benar untuk n ≥ 4.

3. Buktikan bahwa 3 adalah faktor 4ⁿ–1 untuk semua bilangan bulat positif n.

Jawaban:

a. Untuk n = 1 pernyataan tersebut benar karena 4¹-1=3. Dengan demikian, 3 adalah faktor bentuk di atas.

b. Anggap bahwa 3 adalah faktor dari 4^k-1 - 1, maka harus bisa menunjukkan bahwa 3 adalah faktor dari 4^{k + 1} - 1 Untuk melakukan hal tersebut, penulisannya seperti berikut.

4^{k + 1} = 4^{k - 1} - 4^k + 4k 1

= 4^k * (4 - 1) + (4^k - 1)

= 4^k * 3 + (4^k - 1)

Karena 3 adalah faktor dari 4^k * 3 dan 3 juga merupakan faktor 4^k - 1 , maka 3 adalah faktor dari 4^k+1 - 1 Dengan menggabungkan hasil pada langkah a dan b, dapat dismpulkan dengan induksi matematika bahwa 3 adalah faktor 4^k-1 - 1 untuk semua bilangan bulat positif n.

4. Buktikan bahwa x - y adalah faktor dari xⁿ - yⁿ untuk semua bilangan bulat positif n. [Petunjuk x^k+1 - y^k+1 =x^k(x - y) +(x^k - y^k )y ]

Jawaban

a. Untuk n = 1 pernyataan tersebut benar karena x¹ - y¹ = x - y. Sehingga x - y adalah faktor dari bentuk di atas.

b. Bahwa x - y merupakan faktor dari x^k - y^k untuk sebarang bilangan bulat positif k. Selanjutnya harus menunjukkan bahwa x - y merupakan faktor dari x^k+1 - y^k+1

Perhatikan bahwa

x^k+1 - y^k+1 = x^k(x - y) +(x^k - y^k )y

Karena x - y faktor dari x - y * dan x^k - y^k (berdasarkan hipotesis induksi), maka dapat disimpulkan bahwa x - y merupakan faktor dari x^k+1 - y^k+1 .

Jadi, dengan menggunakan induksi matematika bahwa x - y adalah faktor dari xⁿ - yⁿ untuk semua bilangan bulat positif n.

5. Buktikan bahwa n² - n+41 merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat positif n.

Jawaban:

1. Untuk n = 1

1² - 1 + 41 = 41 merupakan bilangan ganjil.

2. Anggap saja sembarang bilangan bulat positif k, k² - k + 41 merupakan bilangan ganjil. Selanjutnya kita harus menunjukkan bahwa (k + 1)² - (k + 1) + 41 adalah bilangan ganjil.

(k + 1)² - (k + 1) + 41 = k² + 2k + 1 - k - 1 + 41

= [k² - k + 41] + 2k

Karena k² - k + 41 adalah bilangan ganjil dan 2k adalah bilangan genap, maka jumlah kedua bilangan tersebut, yaitu (k + 1)² - (k + 1) + 41 merupakan bilangan ganjil.

Jadi, dengan menggunakan Prinsip Induksi Matematika dapat disimpulkan bahwa n² - n + 41 merupakan bilangan ganjil untuk semua bilangan bulat positif n.

6. Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua bilangan asli n, 2+4+6+...+2n = n(n+1)

pembahasan:

2+4+6+...+2n = n(n+1)

Bukti n = 1 benar

2n = n(n+1)

1.1 = 1(1+1)

2 = 1.2

2 = 2 benar

Bukti n = k benar

2+4+6+...+2k = k(k+1) benar

Bukti n = k + 1 benar

2+4+6+...+2k + 2(k+1) = (k+1)((k+1)+1)

k(k+1) +2k + 2 = (k+1)(k+2)

k2 + k + 2k + 2 = (k+1)(k+2)

k2 + 3k + 2 = (k+1)(k+2)

(k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)

Terbukti

7. Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2!

pembahasan:

n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2

deret 1 + 3 + 5 + ...+ (2n-1) = n2

Bukti n = 1 benar

(2n-1) = n2

(2.1-1) = 12

2 - 1= 1

1 = 1 benar

Bukti n = k benar

1 + 3 + 5 + ...+ (2k-1) = k2 benar

Bukti n = k + 1 benar

1 + 3 + 5 + ...+ (2k-1) + (2(k+1)-1) = (k+1)2

k2 + (2k+2-1) = (k+1)2

k2 + 2k + 1 = (k+1)2

(k+1)(k+1) = (k+1)2

(k+1)2 = (k+1)2

Terbukti

8. Tunjukkan bahwa

P(n)= n3 + 5n habis dibagi 3!

pembahasan:

P(n) = n3 + 5n habis dibagi 3

Bukti n = 1 benar

P(1) = 13 + 5.1

P(1) =1 + 5

P(1) = 6, 6 habis dibagi 3 benar

Bukti n = k benar

P(k) = k3 + 5k habis dibagi 3 benar

Bukti n = k + 1 benar

(k+1)3 + 5(k+1) - k3 + 5k

k3 +3k2 +3k + 1 + 5k + 5 - k3 + 5k

3k2 +3k + 6

3(k2 +k + 2)

3 habis dibagi 3

Terbukti

9. Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan bahwa rumus berikut benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

pembahasan:

a. 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) Misalkan P(n) = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)

Langkah Dasar: Untuk n = 1, diperoleh P(1) = 2 = 1(1 + 1) = 1(2) Pernyataan benar untuk n = 1 (langkah dasar selesai).

Langkah Induksi: Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan

P(k) = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1)

Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar

P(k + 1) = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)

Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh

2+4+6+…+2k+2(k+1)=(2+4+6+…+2k)+2(k+1)

=k(k+1)+2(k+1)

=k2+1+2k+2

=k2+2k+3

=(k+1)(k+2)

Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai). Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika pernyataan P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

10. Buktikan jika 32n + 22n + 2 dan habis dibagi 5.

Terapkan tahap-tahap berikut ini:

a. Langkah Pertama:

32(1) + 22(1) + 2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25.

b. Langkah kedua memakai 2 (n = k)

32k + 22k + 2

c. Langkah ketiga ( = k + 1)

= 32(k + 1) + 22(2k + 2)

= 32k + 2 + 22k + 2 + 2

= 32(32k) + 22(22k + 2)

= 10(32k) + 5(22k + 2) – 32k – 22k + 2

= 10 (32k) + 5 (22k + 2) – (32k + 22k+2)

Jadi pernyataan matematika tersebut habis dibagi 5.

11. Tulislah dengan notasi sigma 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7?

Jawaban:

2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

= (1+2) + (2+1) + (3+1) + (4+1) + (5+1) + (6+1)=6 Σ (n+1)n=1

12. Buktikan untuk setiap n bilangan positif berlaku:

1+2+3+...+n = 1/2 n(n+1)

Jawaban:

Misalnya p(n) = 1 + 2 + 3 + .... + n = 1/2 n(n+1)

Dengan mengikuti rumus induksi matematika, jawabannya yaitu:

a. Ditunjukkan bahwa p(n) benar untuk n = 1, karena p(1) adalah 1=1/2 1(1+1) = 1, maka p(1) benar

b. Diasumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k. Dengan kata lain, pernyataan 1 + 2 + 3 + .... + k = 1/2k (k+1) bernilai benar.

13. Buktikan bagi setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2).

Jawaban:

a. Langkah pertama

n = 1

12 = 1/6 1 (1 + 1) (1 + 2)

1 = 1 adalah benar terbukti.

b. Langkah kedua (induksi)

n = k

1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2) juga adalah benar.

Dengan demikian jelas terbukti bahwa setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + n(n + 1)/2 = 1/6 n (n + 1) (n + 2)

14. Coba buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5 untuk tiap-tiap n N.

Jawaban:

a. Langkah pertama

Langkah ini menunjukkan jika p(1) adalah benar. 61 + 4 = 10 habis dibagi oleh angka 5. Hal ini membuktikan bahwa p(1) adalah benar.

b. Langkah kedua (induksi)

Pada langkah ini, apabila p(k) adalah benar, maka 6k + 4 sudah habis dibagi dengan angka 5, Hal ini akan menunjukkan p(k + 1) adalah juga benar yaitu 6k+1 + 4 juga habis dibagi angka 5.

6k+1 + 4 = 6(6k) + 4

6k+1 + 4 = 5(6k) + 6k + 4

Jika 5(6k) telah habis dibagi 5 dan 6k + 4 juga habis dibagi 5, maka 5(6k) + 6k + 4 juga pasti akan dibagi habis dengan angka 5. Jadi, p(k + 1) adalah benar.

15. Buktikan untuk setiap n bilangan positif berlaku 1 + 2 + 3 +…+ n = 1/2 n(n + 1)

Jawaban:

Misalkan p(n) = 1 + 2 + 3 + …. + n = 1/2 n(n + 1)

Ikuti rumus induksi matematika berikut.

P(n) benar untuk n = 1, karena p(1) adalah 1 = 1/2 1(1 + 1) = 1, maka p(1) benar.

Diasumsikan bahwa p(n) benar untuk n = k.

Jadi, pernyataan 1 + 2 + 3 + …. + k = 1/2k (k+1) bernilai benar.