tirto.id - Materi Induksi Matematika merupakan salah satu mata pelajaran yang akan diterima oleh siswa kelas 11 Semester 1. Siswa dapat mencari bahan ajar sebagai persiapan atau bisa melalui latihan soal-soal untuk memudahkan proses pembelajaran.
Induksi Matematika atau Mathematical Induction adalah metode pembuktian yang sering digunakan untuk menentukan kebenaran dari suatu pernyataan yang diberikan dalam bentuk bilangan asli.
Untuk menyatakan pembuktian pernyataan akan diperlukan dua langkah yaitu langkah dasar bahwa P(a) bernilai benar dan langkah induktif bahwa untuk sembarang bilangan asli k ≥ a, dengan a adalah bilangan asli tertentu, jika P(k) bernilai benar maka P(k+1) juga bernilai benar.
Contoh Soal Ulangan Induksi Matematika
Berikut beberapa contoh soal terkait materi Induksi Matematika yang dapat digunakan sebagai bahan latihan:
1. Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua bilangan asli n, 2+4+6+...+2n = n(n+1)
pembahasan:
2+4+6+...+2n = n(n+1)
Bukti n = 1 benar
2n = n(n+1)
1.1 = 1(1+1)
2 = 1.2
2 = 2 benar
Bukti n = k benar
2+4+6+...+2k = k(k+1) benar
Bukti n = k + 1 benar
2+4+6+...+2k + 2(k+1) = (k+1)((k+1)+1)
k(k+1) +2k + 2 = (k+1)(k+2)
k2 + k + 2k + 2 = (k+1)(k+2)
k2 + 3k + 2 = (k+1)(k+2)
(k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)
Terbukti
2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2!
pembahasan:
n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2
deret 1 + 3 + 5 + ...+ (2n-1) = n2
Bukti n = 1 benar
(2n-1) = n2
(2.1-1) = 12
2 - 1= 1
1 = 1 benar
Bukti n = k benar
1 + 3 + 5 + ...+ (2k-1) = k2 benar
Bukti n = k + 1 benar
1 + 3 + 5 + ...+ (2k-1) + (2(k+1)-1) = (k+1)2
k2 + (2k+2-1) = (k+1)2
k2 + 2k + 1 = (k+1)2
(k+1)(k+1) = (k+1)2
(k+1)2 = (k+1)2
Terbukti
3. Tunjukkan bahwa
P(n)= n3 + 5n habis dibagi 3!
pembahasan:
P(n) = n3 + 5n habis dibagi 3
Bukti n = 1 benar
P(1) = 13 + 5.1
P(1) =1 + 5
P(1) = 6, 6 habis dibagi 3 benar
Bukti n = k benar
P(k) = k3 + 5k habis dibagi 3 benar
Bukti n = k + 1 benar
(k+1)3 + 5(k+1) - k3 + 5k
k3 +3k2 +3k + 1 + 5k + 5 - k3 + 5k
3k2 +3k + 6
3(k2 +k + 2)
3 habis dibagi 3
Terbukti
4. Gunakan prinsip induksi matematika untuk membuktikan bahwa rumus berikut benar untuk sebarang bilangan asli 𝑛.
pembahasan:
a. 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1) Misalkan P(n) = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1)
Langkah Dasar: Untuk n = 1, diperoleh P(1) = 2 = 1(1 + 1) = 1(2) Pernyataan benar untuk n = 1 (langkah dasar selesai).
Langkah Induksi: Untuk n = k dengan 𝑘 adalah sebarang bilangan asli, P(k) adalah pernyataan
P(k) = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 = 𝑘(𝑘 + 1)
Asumsikan pernyataan P(k) benar. Akan ditunjukkan bahwa P(k + 1) juga benar
P(k + 1) = 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑘 + 2(𝑘 + 1) = (𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
Dari ruas kiri P(k + 1) diperoleh
2+4+6+…+2k+2(k+1)=(2+4+6+…+2k)+2(k+1)
=k(k+1)+2(k+1)
=k2+1+2k+2
=k2+2k+3
=(k+1)(k+2)
Kedua ruas dari 𝑃(𝑘 + 1) sama, maka 𝑃(𝑘 + 1) bernilai benar. (Langkah induktif selesai). Karena langkah dasar dan langkah induktif dipenuhi, maka menurut prinsip induksi matematika pernyataan P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.
Editor: Yantina Debora & Wulandari
