30 Contoh Soal Transformasi Geometri Kelas 11 dan Jawabannya

tirto.id - Contoh soal Transformasi Geometri kelas 11 dan jawabannya dapat dipakai sebagai bahan belajar sebelum ujian akhir sekolah atau UAS,

Transformasi geometri menjadi salah satu materi pembelajaran yang ada di mata pelajaran matematika.

Transformasi geometri memiliki beberapa rumus dan penjelasannya masing-masing. Selain itu, materi transformasi geometeri ini tidak hanya selalu berbicara tentang angka.

Faktanya, transformasi geometri ini juga terdapat di kehidupan sehari-hari. Mau tau apa saja rumus dan penjelasannya? Mau tau lebih lanjut tentang penggunaan transformasi geometri di kehidupan sehari-hari? Yuk, kita lihat di bawah ini.

Jenis-jenis Transformasi Geometri

Transformasi geometri memiliki keunikan dan ciri khas tersendiri. Rumus dan pembahasan dapat dibaca di bawah ini.

Pencerminan (refleksi)

Refleksi merupakan salah satu bentuk transformasi geometri yang menggambarkan perpindahan suatu titik pada bidang melalui sebuah cermin datar. Hasil refleksi memiliki bentuk dan ukuran yang sama, berjarak sama dari cermin, serta berada pada posisi yang saling berhadapan.

Adapun rumus refleksi dalam transformasi geometri digunakan untuk menghitung perubahan posisi titik tersebut.

• Pencerminan terhadap sumbu -x : (x, y) adalah (x, -y)
• Pencerminan terhadap sumbu -y : (x, y) adalah (-x, y)
• Pencerminan terhadap garis y = x : (x, y) adalah (y, x)
• Pencerminan terhadap garis y = -x : (x, y) adalah (-y, -x)
• Pencerminan terhadap garis x = h : (x, y) adalah (2h – x, y)
• Pencerminan terhadap garis y = k : (x, y) adalah (x, 2k – y).

Pergeseran (translasi)

Tidak seperti refleksi, pada transformasi geometri translasi suatu bidang digeser ke tempat atau posisi yang berbeda. Rumus untuk menghitung translasi dapat dinyatakan sebagai berikut:

(x’, y’) = (a, b) + (x, y)

Keterangan:

(x’, y’): titik bayangan

(a, b): vektor translasi

(x, y): titik asal

Perputaran (rotasi)

Transformasi geometri berupa perputaran atau rotasi mengubah posisi titik pada suatu bidang berdasarkan arah dan besar sudut tertentu. Proses rotasi selalu mengacu pada satu titik pusat sebagai poros perputaran.

Dalam perhitungan rotasi digunakan beberapa rumus umum, yang dibedakan berdasarkan besar derajat putarannya:

• Rotasi 90 derajat dengan pusat (a, b) : (x, y) adalah (-y + a + b, x – a + b)
• Rotasi 180 derajat dengan pusat (a, b) : (x,y) adalah (-x + 2a, -y + 2b)
• Rotasi -90 derajat dengan pusat (a, b) : (x, y) adalah (y – b + a, -x + a + b)
• Rotasi 90 derajat dengan pusat (0, 0) : (x, y) adalah (-y, x)
• Rotasi 180 derajat dengan pusat (0, 0) : (x, y) adalah (-x, -y)
• Rotasi -90 derajat dengan pusat (0, 0) : (x, y) adalah (y, -x)

Dilatasi

Pernahkah kalian melihat sebuah miniatur bangunan? Kurang lebih seperti itulah prinsip dilatasi, yaitu proses yang mengubah ukuran suatu bidang datar menjadi lebih kecil atau lebih besar. Perhitungan dilatasi dilakukan dengan menggunakan faktor skala dan titik pusat tertentu.

Berikut adalah rumus dilatasi pada transformasi geometri

Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) adalah (kx, ky)

Dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala k : (x, y) adalah (kx = k (x – a) + a, k (y – b) + b).

Contoh Soal Transformasi Geometri Kelas 11

Berikut adalah beberapa contoh soal dan pembahasan transformasi geometri kelas 11 SMA untuk berlatih

1. Bayangan titik A dengan A(-1,4) jika direfleksikan terhadap garis y= -x adalah

a. A’(4,1)

b. A’(-4,1)

c. A’(4,-1)

d. A’(4,3)

e. A’(-4,-1)

Jawaban: b

2. Bayangan titik P(5,4) jika didilatasikan terhadap pusat (-2,-3) dengan faktor skala -4 adalah

a. (-30,-31)

b. (-30, 7)

c. (-26, -1)

d. (-14, -1)

e. (-14, -7)

Jawaban: a

3. Titik B(3,-2) dirotasikan sebesar 90 derajat terhadap titik pusat P(-1, 1) . Bayangan titik B adalah…

a. B’(-4, 3)

b. B’ (-2,1)

c. B’(-1, 2)

d. B’(1,4)

e. B’(2,5)

Jawaban: e

4. Diketahui koordinat titik P(-8, 12) . Dilatasi [P, 1] memetakan titik (-4,8) ke titik…

a. (-4, 8)

b. (-4, 16)

c. (-4, -8)

d. (4, -16)

e. (4, -8)

Jawaban: a

5. Suatu bangun jika dikenakan dilatasi dengan faktor skala -1 maka bangunan itu akan ….

a. membesar dua kali lipat dan arah tetap

b. membesar dua kali lipat dan arah berlawanan

c. tetap dan berlawanan arah

d. bergeser 1 satuan dan arah tetap

e. bergeser 1 satuan dan arah berlawanan

Jawaban: c

6. Koordinat bayangan segmen garis AB, dengan A(2, 2) dan B(4, -2) oleh dilatasi dengan faktor dilatasi k = 3 dan pusat dilatasi O adalah ….

a. A'(2, 2) dan B'(6, 6)

b. A'(4, -2) dan B'(12, 6)

c. A'(6, 6) dan B'(12, 6)

d. A'(12, 6) dan B'(12, 7)

e. A'(6, 6) dan B' (12, -6)

Jawaban: e

7. Segitiga ABC dengan koordinat titik sudut A(2,-1), B(6,-1), dan C(5,2) dirotasi sejauh 180 derajat dengan pusat (3,1). bayangan koordinat titik sudut segitiga ABC adalah..

a. A(4,3), B(0,4) C(1,0)

b. A(3,4), B(4,0), C(0,1)

c. A(-4,3), B(0,-4), C(0,1)

d. A(-4,-3), B(0,-4), C(-1,0)

e. A(-4,-3), B(0,4), C(1,1)

Jawaban: a

8. Titik 𝑃⁡(𝑥,𝑦) ditranslasikan oleh 𝑇1⁡(𝑎,𝑏) dilanjutkan oleh 𝑇2⁡(𝑐,𝑑). Jika translasi tunggal yang ekuivalen adalah 𝑇⁡(4,7), maka nilai 𝑎 +𝑏 +𝑐 +𝑑 adalah…

a. 4

b. 7

c. 11

d. 14

e. 28

Jawaban: C

9. Titik 𝑁⁡(𝑥,𝑦) dicerminkan terhadap garis 𝑦 =−2 dilanjutkan dilatasi dengan pusat 𝑂⁡(0,0) dan faktor skala −3. Jika bayangan akhir 𝑁 ′ ′(−9,15), maka koordinat N adalah…

a. N(3,7)

b. N(3,-7)

c. N(-3,7)

d. N(-3,-7)

e. N(-3,3)

Jawaban: C

10. Persamaan bayangan garis 3⁢𝑥 −2⁢𝑦 =6 oleh rotasi 90 derajat searah jarum jam dengan pusat 𝑂⁡(0,0) dilanjutkan translasi oleh 𝑇⁡(2,−1) adalah…

a. 2⁢𝑥 +3⁢𝑦 =11

b. 2⁢𝑥 +3⁢𝑦 =−11

c. 2⁢𝑥 −3⁢𝑦 =11

d. 3⁢𝑥 −2⁢𝑦 =11

e. 3⁢𝑥 +2⁢𝑦 =−11

Jawaban: a

11. Bayangan kurva 𝑦 =𝑥2 −4⁢𝑥 oleh refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan translasi oleh 𝑇⁡(3,2) adalah…

a. 𝑦 =−𝑥2 +10⁢𝑥 −23

b. 𝑦 =−𝑥2 −10⁢𝑥 −23

c. 𝑦 =𝑥2 −10⁢𝑥 +23

d. 𝑦 =−𝑥2 −2⁢𝑥 −3

e. 𝑦 =𝑥2 +2⁢𝑥 +3

Jawaban: c

12. Titik 𝑃⁡(𝑥,𝑦) dirotasi 180∘ dengan pusat 𝑂⁡(0,0) kemudian dicerminkan terhadap garis 𝑦 =−𝑥. Jika bayangan akhirnya adalah 𝑃 ′ ′(−2,5), maka koordinat titik P adalah…

a. 𝑃⁡(−5,2)

b. 𝑃⁡(5,2)

c. 𝑃⁡(5,−2)

d. 𝑃⁡(−5,−2)

e. 𝑃⁡(−2,−5)

Jawaban: a

13. Bayangan garis 𝑥 +2⁢𝑦 =4 oleh dilatasi dengan pusat 𝑂⁡(0,0) dan faktor skala 3 dilanjutkan rotasi 90derajat berlawanan arah jarum jam dengan pusat 𝑂⁡(0,0) adalah…

a. 2⁢𝑥 −𝑦 =12

b. 2⁢𝑥 +𝑦 =12

c. 2⁢𝑥 −𝑦 =−12

d. 𝑥 +2⁢𝑦 =12

e. 𝑥 −2⁢𝑦 =−12

Jawaban: a

14. Jika titik 𝑄⁡(𝑎,𝑏) dicerminkan terhadap garis 𝑦 =𝑥 dilanjutkan translasi oleh 𝑇⁡(−3,2), bayangan akhirnya adalah 𝑄 ′ ′(1,−5). Nilai dari 𝑎 +𝑏 adalah…

a. -2

b. -1

c. 0

d. 1

e. 2

Jawaban: a

15. Bayangan garis 2⁢𝑥 −𝑦 +1 =0 oleh refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan refleksi terhadap garis 𝑦 =−𝑥 adalah…

a. 𝑥 +2⁢𝑦 −1 =0

b. 𝑥 −2⁢𝑦 +1 =0

c. −𝑥 +2⁢𝑦 −1 =0

d. −𝑥 −2⁢𝑦 +1 =0

e. 𝑥 +2⁢𝑦 +1 =0

Jawaban: a

Soal Esai Transformasi Geometri Kelas 11

1. Hitunglah koordinat titik yang diperoleh dari hasil translasi titik (2, 3) sejauh vektor (4, 1)!

Jawaban:

Untuk melakukan translasi, kita perlu menjumlahkan koordinat titik dengan koordinat vektor. Maka, hasil translasi titik (2, 3) sejauh vektor (4, 1) adalah:

(2 + 4, 3 + 1) = (6, 4)

2. Hitunglah koordinat titik yang diperoleh dari hasil rotasi titik (3, 4) sejauh sudut 30 derajat searah jarum jam terhadap titik (1, 1)!

Jawaban:

Untuk melakukan rotasi searah jarum jam sejauh 30 derajat, kita dapat menggunakan rumus rotasi berikut:

x’ = (x-a)cosθ – (y-b)sinθ + a

y’ = (x-a)sinθ + (y-b)cosθ + b

Maka, untuk merotasi titik (3, 4) sejauh 30 derajat terhadap titik (1, 1), dengan asumsi a=1, dan b=1, maka koordinat titik yang dihasilkan adalah:

x’ = (3-1)cos30 – (4-1)sin30 + 1 = 1.598

y’ = (3-1)sin30 + (4-1)cos30 + 1 = 4.232

Jadi, koordinat titik yang dihasilkan adalah (1.598, 4.232).

3. Hitunglah koordinat titik yang diperoleh dari hasil dilatasi titik (2, 5) dengan faktor skala 2!

Jawaban:

Untuk melakukan dilatasi dengan faktor skala k, kita dapat menggunakan rumus berikut:

x’ = kx

y’ = ky

Maka, untuk melakukan dilatasi titik (2, 5) dengan faktor skala 2, koordinat titik yang dihasilkan adalah:

x’ = 2×2 = 4

y’ = 5×2 = 10

Jadi, koordinat titik yang dihasilkan adalah (4, 10).

4. Jika A (2,1) direfleksikan terhadap x=3, maka bayangan titik adalah…

Jawaban:

Rumus untuk refleksi sebuah titik A(x, y) terhadap garis vertikal x = h adalah:

A'(2h - x, \ y)

Diketahui:

Titik awal A = (2, 1), maka x = 2 dan y = 1.

Garis refleksi x = 3, maka h = 3.

Substitusikan nilai-nilai tersebut ke dalam rumus:

Koordinat x baru (x'):

x' = 2(3) - 2

x' = 6 - 2

x' = 4

Koordinat y baru (y'):

Nilai y tidak berubah pada refleksi terhadap garis vertikal.

y' = 1

Maka, bayangan titik A(2, 1) setelah direfleksikan terhadap x=3 adalah A'(4, 1)

5. Titik bayangan dari M (-1, 2) oleh dilatasi [O, 4] adalah …

Jawaban:

Notasi dilatasi [O, 4] memiliki arti:

Pusat Dilatasi (O): Titik (0,0).

Faktor Skala (k): 4.

Karena pusatnya di (0,0), bayangkan titik tersebut diperbesar 4 kali lipat. Cukup kalikan semua angkanya dengan 4.

Maka, koordinat bayangan titik M adalah M'(-4, 8)

6. Hitunglah matriks transformasi yang merepresentasikan pergeseran sejauh vektor (1, 3)!

Jawaban:

Untuk merepresentasikan pergeseran sejauh vektor (1, 3), kita dapat menggunakan matriks transformasi berikut:

| 1 0 1 |

| 0 1 3 |

| 0 0 1 |

Matriks di atas terdiri dari matriks identitas 3×3 yang diubah menjadi matriks transformasi dengan menambahkan koordinat vektor (1, 3) pada kolom terakhir baris pertama dan kedua. Jadi, matriks transformasi yang merepresentasikan pergeseran sejauh vektor (1, 3) adalah:

| 1 0 1 |

| 0 1 3 |

| 0 0 1 |

7. Hitunglah koordinat titik yang diperoleh dari hasil refleksi titik (3, 4) terhadap sumbu x!

Jawaban:

Untuk melakukan refleksi terhadap sumbu x, kita dapat menggunakan rumus berikut:

x’ = x

y’ = -y

Maka, untuk melakukan refleksi terhadap sumbu x pada titik (3, 4), koordinat titik yang dihasilkan adalah:

x’ = 3

y’ = -4

Jadi, koordinat titik yang dihasilkan adalah (3, -4).

8. Hitunglah koordinat titik yang diperoleh dari hasil translasi titik (2, 3) sejauh vektor (4, 1)!

Jawaban:

Untuk melakukan translasi, kita perlu menjumlahkan koordinat titik dengan koordinat vektor. Maka, hasil translasi titik (2, 3) sejauh vektor (4, 1) adalah:

(2 + 4, 3 + 1) = (6, 4)

9. Hitunglah koordinat titik yang diperoleh dari hasil rotasi titik (3, 4) sejauh sudut 30 derajat searah jarum jam terhadap titik (1, 1)!

Jawaban:

Untuk melakukan rotasi searah jarum jam sejauh 30 derajat, kita dapat menggunakan rumus rotasi berikut:

x’ = (x-a)cosθ – (y-b)sinθ + a

y’ = (x-a)sinθ + (y-b)cosθ + b

Maka, untuk merotasi titik (3, 4) sejauh 30 derajat terhadap titik (1, 1), dengan asumsi a=1, dan b=1, maka koordinat titik yang dihasilkan adalah:

x’ = (3-1)cos30 – (4-1)sin30 + 1 = 1.598

y’ = (3-1)sin30 + (4-1)cos30 + 1 = 4.232

Jadi, koordinat titik yang dihasilkan adalah (1.598, 4.232).

10. Hitunglah koordinat titik yang diperoleh dari hasil dilatasi titik (2, 5) dengan faktor skala 2!

Jawaban:

Untuk melakukan dilatasi dengan faktor skala k, kita dapat menggunakan rumus berikut:

x’ = kx

y’ = ky

Maka, untuk melakukan dilatasi titik (2, 5) dengan faktor skala 2, koordinat titik yang dihasilkan adalah:

x’ = 2×2 = 4

y’ = 5×2 = 10

Jadi, koordinat titik yang dihasilkan adalah (4, 10).

Hitunglah matriks transformasi yang merepresentasikan pergeseran sejauh vektor (1, 3)!

Jawaban:

Untuk merepresentasikan pergeseran sejauh vektor (1, 3), kita dapat menggunakan matriks transformasi berikut:

| 1 0 1 |

| 0 1 3 |

| 0 0 1 |

Matriks di atas terdiri dari matriks identitas 3×3 yang diubah menjadi matriks transformasi dengan menambahkan koordinat vektor (1, 3) pada kolom terakhir baris pertama dan kedua. Jadi, matriks transformasi yang merepresentasikan pergeseran sejauh vektor (1, 3) adalah:

| 1 0 1 |

| 0 1 3 |

| 0 0 1 |

11. Hitunglah koordinat titik yang diperoleh dari hasil translasi titik (2, 3) sejauh vektor (4, 1)!

Jawaban:

Untuk melakukan translasi, kita perlu menjumlahkan koordinat titik dengan koordinat vektor. Maka, hasil translasi titik (2, 3) sejauh vektor (4, 1) adalah:

(2 + 4, 3 + 1) = (6, 4)

12. Hitunglah koordinat titik yang diperoleh dari hasil rotasi titik (3, 4) sejauh sudut 45 derajat searah jarum jam terhadap titik (1, 1)!

Jawaban:

Untuk melakukan rotasi searah jarum jam sejauh 45 derajat, kita dapat menggunakan rumus rotasi berikut:

x’ = (x-a)cosθ – (y-b)sinθ + a

y’ = (x-a)sinθ + (y-b)cosθ + b

Maka, untuk merotasi titik (3, 4) sejauh 45 derajat terhadap titik (1, 1), dengan asumsi a=1, dan b=1, maka koordinat titik yang dihasilkan adalah:

x’ = (3-1)cos45 – (4-1)sin45 + 1 = 1.95

y’ = (3-1)sin45 + (4-1)cos45 + 1 = 4.95

Jadi, koordinat titik yang dihasilkan adalah (1.95, 4.95).

13. Hitunglah koordinat titik yang diperoleh dari hasil dilatasi titik (2, 5) dengan faktor skala 0.5!

Jawaban:

Untuk melakukan dilatasi dengan faktor skala k, kita dapat menggunakan rumus berikut:

x’ = kx

y’ = ky

Maka, untuk melakukan dilatasi titik (2, 5) dengan faktor skala 0.5, koordinat titik yang dihasilkan adalah:

x’ = 0.5×2 = 1

y’ = 0.5×5 = 2.5

Jadi, koordinat titik yang dihasilkan adalah (1, 2.5).

14. Hitunglah matriks transformasi yang merepresentasikan refleksi terhadap sumbu y!

Jawaban:

Untuk merepresentasikan refleksi terhadap sumbu y, kita dapat menggunakan matriks transformasi berikut:

| -1 0 0 |

| 0 1 0 |

| 0 0 1 |

Matriks di atas terdiri dari matriks identitas 3×3 yang diubah menjadi matriks transformasi dengan mengganti tanda koordinat x pada baris pertama. Jadi, matriks transformasi yang merepresentasikan refleksi terhadap sumbu y adalah:

| -1 0 0 |

| 0 1 0 |

| 0 0 1 |

Demikian adalah contoh soal dan pembahasan materi transformasi geometri kelas 11. Semoga bermanfaat.

Jika ingin membaca berbagai artikel tentang contoh soal, silakan untuk mengklik tautan berikut: Link Kumpulan Artikel Contoh Soal