25 Contoh Soal Trigonometri Kelas 11 serta Jawabannya

Berikut sejumlah contoh soal Trigonometri kelas 11 beserta jawaban dan pembahasannya.

Terbit 29 Nov 2024 19:45 WIB,

Waktu baca ±14 menit

Materi Trigonometri. foto/istimewa

tirto.id - Puluhan soal Trigonometri kelas 11 beserta jawabannya di sini bisa dipakai belajar siswa. Mengkaji berbagai contoh soal trigonometri kelas 11 juga akan menambah pemahaman.

Sebab, contoh soal persamaan trigonometri kelas 11 tadi tersaji beserta pembahasannya. Siswa bisa mempelajari bagaimana sebuah soal fungsi trigonometri kelas 11 diselesaikan, dari awal hingga ketemu jawabannya.

Secara garis besar, materi trigonometri kelas 11 memuat 2 pokok pembahasan. Keduanya adalah persamaan trigonometri dasar dan persamaan kuadrat trigonometri.

Maka dari itu, mayoritas contoh soal trigonometri dan jawabannya kelas 11 di bawah ini akan berkaitan dengan dua topik tersebut.

Contoh Soal Trigonometri Kelas 11 dan Jawaban

Berikut disajikan beberapa soal trigonometri kelas 11 beserta jawaban dan pembahasan, yang bisa memperdalam pemahaman pada materi matematika.

1. Sin x = 3/5 dengan sudut x adalah lancip. Nilai dari sin 2x adalah...

Jawaban:

Sin x sudah diketahui, tinggal cos x berapa nilainya. Bisa dipastikan cos x = 4/5.

Pakai rumus sudut rangkap untuk sinus, sin 2x = 2 sin x cos x = 2 (3/5)(4/5) = 24/25.

2. Cos 2A = 1/3 dengan A adalah sudut lancip. Maka, nilai tan A adalah...

Jawaban:

Dari rumus cosinus untuk sudut rangkap akan diperoleh terlebih dahulu nilai sin A, yaitu:

cos 2A = 1 − 2 sin² A
1/3 = 1 − 2 sin² A
2 sin² A = 1 − 1/3
2 sin² A = 2/3
sin² A = 1/3
sin A = 1/√3

Jika sin A = 1/√3, perbandingan di segitiga siku-sikunya adalah depan 1, miringnya √3.

Maka, bisa di cari panjang sisi samping, yakni: nilai tan A = sisi depan / sisi samping = 1 / √2 = 1/2 √2.

3. Tan A = p, untuk A lancip. Tentukan sin 2A!

Jawaban:

Diketahui bahwa sin 2A = 2 sin A cos A. Lalu, tan A = p, atau lengkapnya tan a = p/1.

Maka, cara mencari nilai sin A dan cos A adalah...

Sin A = P / √P² + 1
Cos A = 1 / √P² + 1

Jadi, sin 2A = 2 sin A . cos A = 2 . [P / √P² + 1] . [1 / √P² + 1] = 2P / P² + 1.

4. Carilah himpunan penyelesaian dari persamaan sin x = 1/2 untuk 0 ≤ x ≤ 360⁰!

Jawaban:

sin x = sin 30⁰

-(Persamaan 1)

x = 30⁰ + k . 360⁰
k = 0 --> x = 30⁰ + 0 . 360⁰ = 30⁰

-(Persamaan 2)

x = (180⁰ - 30⁰) + k . 360⁰
k = 0 --> x = (180⁰ - 30⁰) + 0 . 360⁰ = 150⁰

Jadi, himpunan penyelesaian Sin X = 1/2 untuk 0 ≤ x ≤ 360⁰ adalah [30⁰, 150⁰].

5. Cari himpunan penyelesaian dari persamaan √2 sin x − 1 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360⁰

Jawaban:

√2 sin x = 1
Sin x = 1/√2
Sin x = 1/2 . √2

-Persamaan 1

x = 45⁰ + k . 360⁰
k = 0 --> x = 45⁰ + 0 . 360⁰ = 45⁰

-Persamaan 2

x = (180⁰ - 45⁰) + k . 360⁰
k = 0 --> x = (180⁰ - 45⁰) + 0 . 360⁰ = 135⁰

Jadi, himpunan penyelesaian √2 sin x − 1 = 0 untuk 0 ≤ x ≤ 360⁰ adalah 45⁰ dan 135⁰.

6. Cari himpunan penyelesaian dari persamaan sin 3x = 1/2 √3 untuk 0 ≤ x ≤ 180ᵒ

Jawaban:

Sin 3x = 1/2 √3
Sin 3x = sin 60ᵒ

-Persamaan I

3x = 60ᵒ + k . 360ᵒ
x = (60ᵒ + k . 360ᵒ) / 3
x = 20ᵒ + k . 120ᵒ
k = 0 ---> x = 20ᵒ + 0 . 120ᵒ = 20ᵒ
k = 1 ---> x = 20ᵒ + 1 . 120ᵒ = 140ᵒ

-Persamaan II

3x = (180ᵒ - 60ᵒ) + k . 360ᵒ
3x = 120ᵒ + k . 360ᵒ
x = (120ᵒ + k . 360ᵒ) / 3
x = 60ᵒ + k . 120
k = 0 ---> x = 60ᵒ + 0 . 120 = 60ᵒ
k = 1 ---> x = 60ᵒ + 1 . 120 = 180ᵒ

Jadi, himpunan penyelesaian sin 3x = 1/2 √3 untuk 0 ≤ x ≤ 180ᵒ ialah [20ᵒ, 60ᵒ, 140ᵒ, 180ᵒ].

7. Cari himpunan penyelesaian dari persamaan sin (x - 75ᵒ) = 1/2 √3 untuk 0 ≤ x ≤ 360ᵒ!

Jawaban:

sin (x - 75ᵒ) = 1/2 √3
sin (x - 75ᵒ) = sin 60ᵒ

-Persamaan I

x - 75ᵒ = 60ᵒ + k . 360ᵒ
x = 60ᵒ + 75ᵒ + k . 360ᵒ
x = 135ᵒ + k . 360ᵒ
k = 0 ---> x = 135ᵒ + 0 . 360ᵒ = 135ᵒ

-Persamaan II

x - 75ᵒ = (180ᵒ - 60ᵒ) + k . 360ᵒ
x - 75ᵒ = 120ᵒ + k . 360ᵒ
x = 120ᵒ + 75ᵒ + k . 360ᵒ
x = 195ᵒ + k . 360ᵒ
k = 0 ---> x = 195ᵒ + 0 . 360ᵒ = 195ᵒ

Jadi, himpunan penyelesaian sin (x - 75ᵒ) = 1/2 √3 untuk 0 ≤ x ≤ 360ᵒ adalah [135ᵒ, 195ᵒ].

8. Tentukan himpunan penyelesaian cos²x + sin x = 1 dalam interval 0° ≤ x≤ 360°

Jawaban:

Penyelesaian cos²x + sin x = 1, bisa pakai rumus identitas pythagoras: sin²x + cos²x = 1. Ganti cos²x dengan 1 - sin²𝑥.

-Langkah I

cos²x + sin x = 1
1 - sin²x + sin x = 1
- sin²x + sin x = 0
sin²x - sin x = 0
sin x (sin x - 1) = 0

-Langkah II

sin x = 0 ----> x = 0ᵒ
sin x - 1 = 0 ----> x = 90ᵒ
sin x = 1 -----> x = 180ᵒ

Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah [0ᵒ, 90ᵒ, 180ᵒ]

9. Cari semua nilai x yang memenuhi 2 sin A + 1 + csc A!

Jawaban:

-Langkah penyelesaian I:

2 sin 𝐴 + 1 = csc 𝐴
2 sin 𝐴 + 1 = 1/sin 𝐴
2 𝑠𝑖𝑛²𝐴 + sin 𝐴 = 1
2 𝑠𝑖𝑛²𝐴 + sin 𝐴 - 1 = 0
(2 sin 𝐴 - 1)(sin 𝐴 + 1) = 0

-Langkah penyelesaian II:

(2 sin 𝐴 - 1) = 0 ----> A = 30ᵒ
Sin A = -1 ----> A = 150ᵒ
Sin A = 1/2 -----> A = 270ᵒ

Jadi, nilai x yang bisa memenuhi ialah A = 30ᵒ, A = 150ᵒ, A = 270ᵒ.

10. Pakai sin 2𝜃 = 2 sin 𝜃 cos 𝜃 untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sin 2𝜃 - sin 𝜃 = 0 di interval 0° ≤ 𝜃 ≤ 360°!

Jawaban:

-Langkah I:

sin 2𝜃 − sin 𝜃 = 0
2 sin 𝜃 cos 𝜃 − sin 𝜃 = 0
sin 𝜃 (2 cos 𝜃 − 1) = 0
(2 cos 𝜃 − 1) = 0

-Langkah II:

cos 𝜃 = 1/2 ----> 𝜃 = 60° atau 𝜃 = 300°
sin 𝜃 = 0 ----> 𝜃 = 0° atau 𝜃 = 90°

Maka, himpunan penyelesaiannya adalah [0°, 60°, 180°, 300°].

11. Sebuah segitiga siku-siku memiliki nilai sinus salah satu sudut lancipnya √3/2. Hitung nilai cosinus sudut tersebut!

Jawaban:

Jawaban untuk soal di atas bisa dicari dengan rumus identitas trigonometri dasar, yakni: Sin² θ + cos² θ = 1. Di sisi lain, sudah diketahui bahwa Sin θ = √3/2.

Maka, penyelesaiannya adalah:

Sin² θ + cos² θ = 1
√(3/2)² θ + cos² θ = 1
3/4 + cos² θ = 1
cos² θ = 1 - 3/4
cos² θ = 1/4
Maka, cos θ = ± √1/4 = ± 1/2.

Mengingat θ merupakan sudut lancip di segitiga siku-siku (0∘ < 0 < 90∘), bisa dipastikan nilai cos θ. Artinya, jawaban untuk soal di atas adalah cos θ = 1/2.

12. Bayangkan ada kapal layar menempuh perjalanan dengan arah 70ᵒ sejauh 40 km dari pelabuhan ABC menuju pelabuhan DEF. Kapal itu lantas melanjutkan kembali perjalanan sejauh 90 km menuju pelabuhan GHI dengan arah 110ᵒ. Hitung jarak yang paling pendek dari pelabuhan ABC ke pelabuhan GHI!

Jawaban:

-Diketahui:

Dari soal di atas, diketahui pelayaran kapal di fase pertama (dari pelabuhan ABC ke pelbuhan DEF) berlangsung dengan arah 70ᵒ. Lantas, pada pelayaran tahap kedua, kapal berangkat dari pelabuhan DEF menuju pelabuhan GHI dengan arah perjalanan 110ᵒ.

Bisa disimpulkan, sudut yang terbentuk oleh 2 tahap perjalanan kapal itu adalah 110ᵒ - 70ᵒ = 40ᵒ.

Yang ditanyakan adalah jarak terpendek dari pelabuhan ABC ke pelabuhan GHI. Jarak ini bisa disebut sisi ketiga dari garis segitiga yang akan terbentuk oleh arah perjalanan kapal.

Maka, jarak pelabuhan ABC ke GHI bisa dicari dengan hukum cosinus yang persamaannya adalah:

c² = a² + b² - 2ab . cos (C)

Adapun keterangan sesuai data di soal ialah:

a = jarak pelabuhan ABC ke DEF = 40 km
b = jarak pelabuhan DEF ke GHI = 90 km
C = sudut dari arah dua perjalanan kapal = 40ᵒ
c = jarak langsung dari pelabuhan ABC ke GHI = ?

-Penyelesaian:

c² = a² + b² - 2ab . cos (C)
c² = 40² + 90² - 2 . 40 . 90 . cos (40ᵒ)
c² = 1600 + 8100 - 7200 . cos (40ᵒ)
c² = 9700 - 7200 . 0,7660
c² = 9700 - 4184,8
c² = √4184,8
c² = 64,6 km

Jadi, jawaban untuk soal di atas adalah jarak terpendek pelabuhan ABC ke GHI sejauh 64,6 kilometer.

13. Saat mendaki ke sebuah bukit, Wawan melihat ke arah bawah. Dari posisinya berdiri, terlihat ujung landasan pacu sebuah bandara. Landasan pacu itu sedang dibangun secara horizontal, dengan sudut depresi 53ᵒ dan 14ᵒ. Jarak ujung landasan pacu bandara yang terdekat dengan lereng bukit sejauh 852 meter. Wawan tahu bahwa sin 53ᵒ = 0,8 dan tan 14ᵒ = 0,25. Bagaimana Wawan bisa mengukur panjang landasan pacu bandara tersebut?

Jawaban:

-Dari soal di atas, diketahui:

Sudut depresi ujung landasan pacu terdekat dengan lereng bukit adalah 53ᵒ
Sudut depresi ujung landasan pacu yang terjauh adalah 14ᵒ
Jarak mendatar dari lereng bukit dengan ujung terdekat landasan adalah 852 m (d₁)
Sudah diketahui bahwa sin 53ᵒ = 0,8 dan tan 14ᵒ = 0,25
Belum diketahui ketinggian bukit dari ujung terdekat landasan pacu
Belum diketahui jarak mendatar ke ujung terjauh landasan pacu
Ditanyakan panjang landasan pacu

-Penyelesaian untuk menemukan jawaban sebagai berikut:

a. Menghitung ketinggian bukit (h) dari ujung terdekat landasan pacu dengan cara:

sin 53ᵒ = h/d₁
0,8 = h/852
h = 852 x 0,8
h = 681,6 meter

b. Menghitung jarak mendatar ke ujung terjauh landasan pacu (d₂) dengan cara:

tan 14ᵒ = h/d₂
0,25 = 681,6/d₂
d₂ = 681,6/0.25
d₂ = 2726,4 meter

c. Menghitung panjang landasan pacu bandara (L)

Panjang landasan pacunya bisa diketahui dari selisih jarak mendatar ujung terjauh (d₂) dengan ujung terdekat (d₁), dengan cara berikut:

L = d₂ - d₁
L = 2726,4 - 852
L = 1874,4 m

Bisa disimpulkan, panjang landasan pacu bandara yang dilihat oleh wawan adalah 1874,4 meter.

14. Terdapat jajaran genjang ABCD. Diketahui bahwa panjang AB = 5 cm, lalu BC = 4 cm, sementara sudut ∠ABC = 110ᵒ. Tentukan luas jajaran genjang tersebut (satuan luas)!

Jawaban:

Penyelesaian soal di atas bisa pakai rumus L = AB . BC . Sin ∠ABC.

-Diketahui:

L = Luas jajaran genjang = ?
AB = panjang garis AB = 5 cm
BC = panjang garis BC = 4 cm
∠ABC = sudut ABC = 110ᵒ

-Penyelesaian:

a. Nilai sin 110ᵒ = sin (180ᵒ - 110ᵒ) = sin 70ᵒ = 0,9397 [sesuai tabel trigonometri atau hasil kalkulator]

b. Berikut penghitungan luas jajaran genjang:

L = AB . BC . Sin ∠ABC.
L = 5 . 4 . 0,9397
L = 20 . 0,9397
L = 18.794

Bisa disimpulkan, luas jajaran genjang ABCD adalah 18,794 satuan luas.

15. Segitiga LCH punya panjang l = 16 cm, c = 10 cm, dan luas 40 cm². Tentukan besar sudut apit sisi a dan b!

Jawaban:

Penyelesaian soal di atas bisa memakai rumus luas segitiga, yaitu L = 1/2 . l . c . sin θ.

-Diketahui:

l = 16 cm
c = 10 cm
L = 40 cm²

-Penyelesaian:

L = 1/2 . l . c . sin θ
40 = 1/2 . 16 . 10 . sin θ
40 = 80 . sin θ
sin θ = 40/80 = 0,5

Karena sin θ = 0,5 = 30ᵒ. Dapat disimpulkan, besar sudut apit sisi l dan c adalah 30ᵒ.

.

16. Cari penyelesaian persamaan sin 3𝑥 = 1/2 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°!

Jawaban:

a. Ingat fungsi sinus. Sinus bernila 1/2 berlaku pada sudut-sudut istimewa. Sin θ = 1/2 ===> θ = 30° atau θ = 150°.

b. Masukkan 3x ke dalam nilai sinus. 3x = 30° + 360°k atau 3x = 150° + 360°k dengan K ∈Z.

c. Tentukan x dengan bagi semua anggota pakai 3, sehingga:

x = (30° + 360°k) / 3 atau x = (150° + 360°k) / 3
x = 10° + 120°k atau x = 50° + 120°k

d. Pastikan x dalam interval 0° ≤ x ≤ 360°. Cek nilai x untuk setiap k.

-Dari x = 10° + 120°k

Untuk k = 0, x = 10°
Untuk k = 1, x = 130°
Untuk k = 2, x = 250°
Untuk k = 3, x = 370° (di luar interval)
Nilai x yang valid: 10°, 130°, 250°

-Dari x = 50° + 120°k

Untuk k = 0, x = 50°
Untuk k = 1, x = 170°
Untuk k = 2, x = 290°
Untuk k = 3, x = 410° (di luar interval)
Nilai x yang valid: 50°, 170°, 290°

Jadi, solusi persamaan sin 3𝑥 = 1/2 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° adalah: 10°, 50°, 130°, 170°, 250°, 290°.

17. Hitung untuk cari jawaban dari 2 sin² x – 1 = 0!

Jawaban:

Untuk solusi persamaan 2 sin² x – 1 = 0 dalam interval 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°, penyelesaiannya sebagai berikut:

a. Menyederhanakan persamaan:

2 sin² x – 1 = 0
2 sin² x = 1
sin² x = 1/2

b. Mengambil akar kuadrat

sin x = ±√1/2
sin x = ±√2/2

c. Cari nilai x berdasarkan x. Fungsi sinus bernilai ±√2/2 pada sudut istimewa berikut:

-Untuk sin x = √2/2

x = 45° (kuadran I)
x = 135° (kuadran II)

-Untuk sin x = -√2/2

x = 225° (kuadran III)
x = 315° (kuadran IV)

d. Penyelesaian solusi

Karena semua sudut di atas berada dalam interval 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° maka solusi untuk persamaan 2 sin² x – 1 = 0 adalah x = 45°, 135°, 225°, 315°.

18. Cari himpunan penyelesaian dari 2 sin² x + 3 cos x = 0 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°!

Jawaban:

a. Awali dengan penggunaan identitas trigonometri dan lakukan langkah-langkah di bawah:

Masukkan sin² x = 1 - cos² x ke persamaan: 2 (1 - cos² x) + 3 cos x = 0
Sederhanakan persamaan: 2 - 2cos² x + 3 cos x = 0
Susun persamaan kuadrat: - 2cos² x + 3 cos x + 2 = 0
Kalikan semua persamaan dengan -1: 2cos² x - 3 cos x - 2 = 0
Faktorkan persamaan kuadrat: (2cos x + 1) (cos x - 2) = 0

b. Untuk mencari nilai cos x, lakukan faktorisasi yang akan menghasilkan dua kemungkinan:

2 cos x + 1 = 0 ===> cos x = -1/2
cos x - 2 = 0 ===> cos x = 2

c. Mengingat −1 ≤ cos x ≤ 1, berarti nilai cos x = 2 tidak valid. Maka yang bisa dipakai hanya cos x = -1/2. Dari situ, untuk menentukan sudut-sudut yang menenuhi, ada kuadran II dan III.

Kuadran II: x = 180° - 20° = 120°
Kuadran III: x = 180° - 60° = 240°

Dengan demikian, himpunan penyelesaiannya 2 sin² x + 3 cos x = 0 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° adalah {120°, 240°}.

19. Cari himpunan penyelesaian dari sin(𝑥 − 75°) = 1/2 √3 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°!

Jawaban:

Diketahui, sin(𝑥 − 75°) = 1/2 √3 ====> sin(𝑥 − 75°) = √3/2
Nilai sin(𝑥 -75°) = √3/2 pada sudut-sudut tertentu adalah sin θ = √3/2 ====> θ = 60° (kuadran I) dan 180° - 60° = 120° (kuadran II). Jadi x - 75° = 60° atau x - 75° = 120°.
Cari nilai x dengan dalam dua persamaan terakhir. Dari x - 75° = 60° menjadi x = 60° + 75° = 135°. Lalu, dari x - 75° = 60° menjadi x = 75° + 120° = 195°.
Karena intervalnya 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°, dua nilai x di atas (135° dan 190°) bisa dianggap sesuai.

Dengan demikian, himpunan penyelesaian sin(𝑥 − 75°) = 1/2 √3 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360° adalah {135°, 190°}

20. Cari himpunan penyelesaian dari 2 sin 𝑥 = 1 untuk 0° ≤ 𝑥 ≤ 360°!

Jawaban:

Penyelesaiannya cukup mudah, yakni: