Kumpulan Rumus Deret Aritmatika Lengkap dan Contoh Soal-Jawaban

tirto.id - Kumpulan rumus deret aritmatika dibutuhkan oleh masyarakat yang ingin mengikuti seleksi yang berhubungan dengan tes kemampuan dasar seperti seleksi masuk perguruan tinggi, seleksi untuk Calon Pegawai Negeri Sipil (CPNS), hingga seleksi dalam proses rekrutmen BUMN.

Oleh karena itu, kumpulan rumus mengenai deret aritmatika beserta contohnya ini dapat digunakan sebagai bahan belajar untuk mengetahui dan memperdalam pemahaman materi deret aritmatika sebelum menghadapi ujian atau tes kemampuan dasar.

Rumus deret aritmatika seringkali digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Pasalnya, terdapat beragam kegiatan dalam kehidupan masyarakat yang tidak terlepas dari penerapan konsep aritmatika salah satunya seperti memprediksi skala keuntungan atau kerugian yang akan dihadapi oleh pedagang atau pengusaha.    

Aritmatika itu sendiri merupakan ilmu dasar matematika yang di dalamnya meliputi berbagai operasi hitung mulai dari penjumlahan, pengurangan, perkalian, hingga pembagian. Materi mengenai barisan dan deret aritmatika ini menjadi salah satu pokok pembahasan yang dipelajari dalam mata pelajaran Matematika kelas X SMA Kurikulum Merdeka.

Rumus dan Contoh Soal Deret Aritmatika

Agar lebih mudah dalam mempelajari dan memahami konsep dari materi barisan dan deret aritmatika, berikut ini disajikan kumpulan rumus deret aritmatika lengkap beserta contoh soal dan pembahasannya.

Baris dan Deret Aritmatika

• Pola Bilangan

Pola bilangan yaitu susunan bilangan yang membentuk suatu pola yang teratur.

Contohnya :

-Pola bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, ...

-Pola bilangan genap : 2, 4, 6, 8, 10, ...

-Pola bilangan kuadrat : 1, 4, 9, 16, 25, ...

• Baris

Baris yaitu daftar urutan barisan dari kiri ke kanan yang ditulis dengan pola tertentu. Setiap bilangan dalam baris tersebut merupakan suku dalam barisan.

Contohnya :

2, 4, 6, 8, 10, ...

1, 3, 5, 7, 9, 11, ...

• Deret

Deret  yaitu penjumlahan dari suku-suku pada suatu barisan. Misalnya suatu barisan disimbolkan dengan U1,U2, U3 maka deretnya adalah U1 + U2 + U3 + ... + Un.

Contohnya :

2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ... + Un

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... + Un

• Barisan Aritmatika

Barisan aritmatika diartikan sebagai barisan yang nilai setiap sukunya diperoleh dari penjumlahan maupun pengurangan suku sebelumnya dengan suatu bilangan.

Selisih dari nilai suku yang berdekatan selalu sama, suku tersebut dilambangkan dengan huruf b sedangkan nilai suku pertama dilambangkan dengan huruf a.

Rumus untuk suku ke-n dari barisan aritmatika yaitu sebagai berikut :

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 – 1)𝑏

Keterangan :

𝑎 = U1 : suku pertama

𝑛 : banyak bilangan

𝑏 : beda suku

Contohnya :

1.Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …

Pembahasan:

Diketahui:

a = 7

b = –2

ditanya 𝑈40 ?

Jawab:

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 – 1) 𝑏

𝑈40 = 7 + (40 – 1) (−2)

𝑈40 = 7 + 39 . (-2) = 7 + (-78) = – 71

Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71.

2. Dalam suatu gedung pertunjukan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah …

Pembahasan:

Diketahui:

a = 12

b = 2

Ditanyakan 𝑈20 ?

Jawab :

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 – 1) 𝑏

𝑈20 = 12 + (20 – 1) (2)

𝑈20 = 12 + 19 . (2) = 12 + (38) = 50

Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 kursi.

3. Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut: 5, 8, 11, … Tentukan nilai suku ke-15 !

Pembahasan:

Diketahui :

a = 5

b = 3

Ditanyakan U15 ?

Jawab :

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 – 1) 𝑏

𝑈15 = 5 + (15-1) 3

𝑈15 = 5 + (14) 3

𝑈15 = 5 + 42 = 47

Jadi, nilai suku ke-15 dari barisan aritmatika tersebut yaitu 47

• Suku Tengah Barisan Aritmatika

Apabila suatu barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) yang ganjil, dengan suku pertama a dan suku terakhir Un maka suku tengah (Ut) dari barisan tersebut dapat dicari dengan rumus sebagai berikut :

Ut = ½ (𝑎 + 𝑈𝑛)

Keterangan :

Ut : Suku tengah

𝑎 = U1 : Suku pertama dalam barisan aritmatika

𝑈𝑛 : Jumlah suku ke n

Contohnya :

Diketahui barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 125, 128, 131. Suku tengahnya adalah …

Jawab:

Barisan aritmatika 5, 8, 11, …, 125, 128, 131

Diketahui: suku pertama, a = 5 suku ke-n: Un = 131

Maka suku tengahnya yaitu :

Ut = ½ (𝑎 + 𝑈𝑛)

Ut = ½ (5 + 131)

Ut = 68

Jadi, nilai suku tengah dari barisan aritmatika tersebut yaitu 68

• Deret Aritmatika

Deret aritmatika yaitu penjumlahan suku-suku dari barisan aritmatika untuk menghitung penjumlahan suku pertama sampai suku ke-n. Deret aritmatika dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut :

𝑆𝑛 = 𝑛/2 (𝑎 + 𝑈𝑛)

atau jika kita substitusikan

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 – 1) 𝑏 maka 𝑆𝑛 = 𝑛/2 (𝑎 + 𝑈𝑛)𝑆𝑛 = 𝑛/2 (𝑎 + (𝑎 + (𝑛 – 1) 𝑏)𝑆𝑛 = 𝑛/2 (2𝑎 + (𝑛 – 1) 𝑏)

Keterangan 

𝑎 = U1 : suku pertama dalam barisan aritmatika

𝑏 : beda barisan aritmatika (Un – U(n-1)) dengan n adalah banyaknya suku

𝑛 : jumlah suku

𝑈𝑛 : jumlah suku ke n

𝑆𝑛 : jumlah n suku pertama

Contohnya :

1.Rumus jumlah n suku pertama deret bilangan 2 + 4 + 6 + … + 𝑈𝑛 adalah …

Pembahasan:

Diketahui:

𝑎 = 2

𝑏 = 2

Ditanya: rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika tersebut ?

Jawab:

𝑆𝑛 = 𝑛/2 (2𝑎 + (𝑛 – 1) 𝑏)

𝑆𝑛 = 𝑛/2 (2.2 + (𝑛 – 1) 𝑏)

𝑆𝑛 = 𝑛/2 (2.2 + (𝑛 – 1) 2)

𝑆𝑛 = 𝑛/2 (4 + 2𝑛 – 2)

𝑆𝑛 = 𝑛/2 (2 + 2𝑛)

𝑆𝑛 = 𝑛/2 . 2 (1 + 𝑛) = 𝑛 (1 + 𝑛) = 𝑛 + 𝑛²

Jadi, rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut adalah 𝑆𝑛 = 𝑛 + 𝑛²

2. Diketahui deret aritmatika sebagai berikut 9 + 12 + 15 + . . . + U10 Tentukan:

a. Suku ke-10

b. Jumlah sepuluh suku pertama: S10

Jawab:

Diketahui :

𝑎 = 9

𝑏 = 3

Ditanya :

a.Suku ke-10

𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 – 1) 𝑏

𝑈10 = 9 + (10-1) 3

𝑈10 = 9 + (9) 3

𝑈10 = 9 + 27

𝑈10 = 36

b. Jumlah sepuluh suku pertama atau S10

𝑆𝑛 = 𝑛/2 (𝑎 + 𝑈𝑛)

𝑆10 = 10/2 (9 + 36)

𝑆10 = 5 (45)

𝑆10 = 225

• Sisipan pada Barisan Aritmatika

Jika terdapat dua suku barisan aritmatika kemudian disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membentuk barisan aritmatika baru, maka:

• Beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku akan berubah dan dirumuskan :

𝑏’= 𝑏/(k-1)

• Banyak suku barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku dirumuskan :

𝑛’=𝑛 + (𝑛-1)k

• Jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku dirumuskan :

𝑆𝑛’ = 𝑛’/2 (𝑎 + 𝑈𝑛)

Keterangan:

𝑏’ = beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku

𝑛’ = banyak suku barisan aritmatika baru

𝑛 = banyak suku barisan aritmatika lama

k = banyak suku yang disisipkan

𝑆𝑛’ = jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku

Contohnya :

Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah …

Jawab:

Diketahui:

Deret aritmatika mula-mula: 20 + 116

Suku pertama (𝑎) = 20 dan suku ke-n : Un = 116 ; (n = 2)

Disisipkan : k = 11 bilangan

Maka banyaknya suku baru : 𝑛’= 𝑛 + (𝑛-1)k 𝑛’= 2 + (2-1)11 = 2 + 11 = 13

Jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku yaitu :

𝑆𝑛’ = 𝑛’/2 (𝑎 + 𝑈𝑛)

𝑆𝑛’ = 13/2 (20+116)

𝑆𝑛’ = 13/2 (136) = 884

Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884