20 Contoh Soal Kaidah Pencacahan Kelas 12 dan Pembahasannya

tirto.id - Contoh soal kaidah pencacahan akan dipelajari siswa yang duduk di kelas 12. Soal-soal ini dapat dipakai untuk berlatih siswa agar terbiasa untuk mencari penyelesaian dari pertanyaan terkait pencacahan.

Soal kaidah pencacahan meliputi pertanyaan tentang berbagai aturan perhitungan. Misalnya adalah perkalian dan penjumlahan, permutasi, hingga kombinasi. Di sisi lain, latihan soal kaidah pencacahan kelas 12 kemungkinan juga dipakai dalam kasus di kehidupan sehari-hari.

Soal matematika kaidah pencacahan kelas 12 ini disediakan dalam bentuk pertanyaan esai. Semua pertanyaan sudah dilengkapi dengan jawaban dan pembahasannya. Dengan begitu, siswa yang menggunakan untuk berlatih, bisa mendapatkan pemahaman lebih mendalam dari contoh soal kaidah pencacahan yang disediakan.

Contoh Soal Kaidah Pencacahan Kelas 12 dan Jawaban

Contoh soal kaidah pencacahan yang disediakan pada laman ini memiliki banyak pertanyaan esai. Siswa bisa langsung menyimak pembahasan cara mengerjakan dan jawabannya yang diletakkan pada bawah soal. Berikut daftar contoh soal kaidah pencacahan tersebut:

1. Seorang tukang kebun menanam enam pohon Jika pohon yang ditanam harus dibuat melingkar, berapa banyak cara yang berbeda untuk menanam keenam pohon itu?

Jawaban:

Karena pohon yang ditanam melingkar, digunakan penyelesaian secara permutasi:

Banyak pohon 6, maka:

P = (6-1)!

P = 5!

P = 5x4x3x2x1

P = 120

Jadi banyak metode berbeda untuk menanam pohon tersebut ada 120 cara.

2. Suatu perusahaan akan mengangkat kepala seksi baru. Perusahaan memiliki 10 orang pegawai senior dengan kemampuan sama. Dari 10 pegawai tersebut hanya dipilih 4 orang untuk menduduki jabatan kepala seksi. Berapa banyak susunan yang mungkin dilakukan?

Jawaban:

Karena susunan tidak memperhatikan formasi dan urutan, digunakan pencarian memakai kombinasi:

10C4

= 10! / (10-4)! 4!

= 10! / 6! 4!

= 10x9x8x7 / 4x3x2x1

= 210

Jadi ada 120 susunan yang bisa dilakukan untuk memilih kepala seksi baru.

3. Dari 8 orang putra dan 4 putri akan dibentuk tim yang beranggotakan 3 orang. Persyaratannya anggota tim tersebut harus sekurang-kurangnya 2 putra, maka banyak tim yang dapat dibentuk adalah...

Jawaban:

Persyaratan dalam soal yaitu sekurang-kurangnya 2 putra, maka kemungkinannya:

a. 2 putra + 1 putri

8C2 X 4C1

= (8!)/((8 - 2)!2!) X (4!)/((4 - 1)! 1!

= (8!)/6! 2! X (4!)/ 3! 1!

= (8 x 7)/(2 x 1) X 4/1

= 28 X 4

= 112

b. 3 putra

8C3

= 8! / (8 - 3)! 3!)

= 8! / 6! 3!

= (8 x 7) / (3 x 2 x 1)

= 56

Jadi total kemungkinannya 112 + 56 = 168 cara

4. Saat ulangan matematika,semua siswa diminta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan. Apabila soal nomor 1 hingga 5 harus dikerjakan, berapa banyak pilihan soal yang bisa dipilih siswa?

Jawaban:

Siswa diwajibkan mengerjakan 5, maka tersisa 4 soal yang mesti diselesaikan. Dari 10 soal, tersisa 5 soal saja karena soal 1-5 sudah dikerjakan, maka digunakan penyelesaian dengan permutasi:

5P4

= 5! / 4!

= 5

Jadi banyaknya pilihan yang dapat dipilih adalah 5 soal.

5. Riska memiliki 6 baju dan 4 celana panjang berlainan warna. Berapa banyak Riska dapat menggunakan baju dan celana panjang berlainan?

Jawaban:

6C1 x 4C1

= 6! / (6 - 1)! 1! x 4! / (4 - 1)! 1!

= 6! / 5! 1! x 4! / 3! 1!

= 6 / 1! x 4/ 1!

= 24

jadi Riska bisa memakai baju dan celana berlainan sebanyak 9 cara.

6. Hitunglah nilai dari Hitunglah nilai dari 8!/4! + 3!

Jawaban:

8!/4!+3!

= 8!/4x3! + 3!

= 8!/5x3!

= 8x7x6x5x4x3! / 5x3!

= 8x7x6x4

= 1344

7. Hitunglah nilai permutasi dari 6P2

Jawaban:

6P2

= 6! / (6-2)!

= 6!/4!

= 6x5x4! / 4!

= 6x5

= 30

8. Berapa banyak susunan empat huruf berbeda dari kata REIKSON?

REIKSON mempunyai 7 huruf berbeda, dan disusun 4 huruf berbeda. Permutasi 4 unsur berbeda dari 7 unsur berbeda.

7P4 = 7!/ (7-4)!

= 7! / 3!

= 7x6x5x4x3! / 3!

= 7x6x5x4

= 840

9. Berapa banyak permutasi yang dapat diperoleh dari kata ANGKASA?

Jawaban:

Kata ANGKASA memuliki 7 huruf dengan huruf A sebanyak 3. Banyak permutasi yaitu:

7P4

= 7! / 4!

= 7x6x5

= 840

10. Ada 8 bendera terdiri dari 4 warna merah, 2 biru dan 2 kuning. Berapa banyak cara menyusun 8 bendera tersebut pada sebuah tiang secara vertikal?

Jawaban:

Banyak bendera yaitu 8 dengan warna yang sama yakni merah 4, biru 2, dan kuning 2. Permutasi dengan unsur yang sama, yaitu:

8P(4,2,2)

= 8! / 4!x2!x2!

= 8x7x6x5x4! / 4!x2x1x2x1

= 2x7x6x5

= 420

11. Pada suatu kelas akan dibentuk sebuah kepengurusan yang terdiri dari satu ketua kelas dan satu sekretaris. Ada berapa kepengurusan yang mungkin terbentuk jika ada 5 calon ketua kelas dan 6 calon sekretaris?

Jawaban:

Perhitungan banyak kepengurusan kelas sebagai berikut:

Pemilihan ketua kelas = 5 kemungkinan

Pemilihan sekretaris = 6 kemungkinan

Sehingga kepengurusan yang mungkin terbentuk sebanyak 5 × 6 = 30 kemungkinan.

12. Dalam ruang tunggu suatu apotik terdapat 4 kursi. Ahmad, Umar, Ali dan Said sedang berada di ruang tunggu apotek tersebut. Berapa banyak cara yang berbeda keempat anak itu menduduki kursi tersebut ?

Jawaban:

Misalkan, terdapat 4 kotak yang menggambarkan 4 kursi dalam ruang tunggu.

Kotak (kursi) pertama dapat diisi dengan 4 pilihan (cara), yaitu oleh siapa saja dari keempat anak. Kotak kedua dapat diisi dengan 3 pilihan (cara), yaitu oleh siapa saja dari ketiga anak yang tersisa. Kotak ketiga dapat diisi dengan 2 pilihan (cara), yaitu oleh siapa saja dari kedua anak yang tersisa. Kotak keempat dapat diisi dengan 1 pilihan (cara), yaitu oleh anak terakhir yang tersisa.

Dengan demikian banyaknya pilihan (cara) untuk menyusun posisi duduk dapat diketahui dengan menggunakan aturan perkalian, sehingga banyaknya cara yang berbeda keempat anak menduduki kursi tersebut adalah 4 X 3 X 2 X 1 = 24 cara.

13. Di dalam kantong terdapat 10 kelereng berwarna merah, 7 kelereng berwarna hijau, 5 kelereng berwarna kuning, dan 3 kelereng berwarna biru. Berapakah banyaknya kemungkinan untuk mengambil satu kelereng berwarna merah atau hijau atau kuning atau biru?

Jawaban:

Kejadian pertama (mengambil satu kelereng merah) dapat terjadi dengan 10 cara.

Kejadian kedua (mengambil satu kelereng hijau) dapat terjadi dengan 7 cara.

Kejadian ketiga (mengambil satu kelereng kuning) dapat terjadi dengan 5 cara.

Kejadian keempat (mengambil satu kelereng biru) dapat terjadi dengan 3 cara.

Jadi banyaknya cara mengambil satu kelereng warna merah atau hijau atau kuning atau biru adalah 10 + 7 + 5 + 3 = 25 cara.

14. Hitunglah:

a. 6!

b. 5!/2!

Jawaban:

a. 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

b. 5!/2! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 / 2 x 1 = 120/2 =60

15. Nyatakan bentuk berikut dalam notasi faktorial

a. 4! (5x6)

b. 8 x 7 x 6 x 5 = 8 x 7 x 6 x 5 x (4 x 3 x 2 x 1 / 4 x 3 x 2 x 1)

Jawaban:

a.4! (5x6) = (4 x 3 x 2 x 1)(5 x 6) = 6!

b. 8 x 7 x 6 x 5 x (4 x 3 x 2 x 1 / 4 x 3 x 2 x 1) = 8!/4!

16. Dalam suatu kelas akan diadakan pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari ketua kelas, sekretaris dan bendahara. Apabila calon ketua kelas ada 6 orang, calon sekretaris ada 4 orang, dan calon bendahara ada 3 orang, ada berapa susunan pengurus kelas yang mungkin terbentuk ?

Jawaban:

Ketua kelas ada 6 pilihan

Sekretaris ada 4 pilihan

Bendahara ada 3 pilihan

Jadi, banyak susunan pengurus kelas yang mungkin terbentuk adalah 6 x 4 x 3 = 72 susunan.

17. Tentukan banyaknya susunan 4 huruf berbeda yang dapat diperoleh dari kata MENTARI.

Jawaban:

Kata MENTARI terdiri atas 7 huruf yang berbeda.

Banyaknya susunan 4 huruf berbeda yang dapat diperoleh dari 7 huruf berbeda tersebut merupakan permutasi r = 4 dari n = 7 huruf atau P(7, 4).

Jadi banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah

𝑃(𝑛, 𝑟) = 𝑛! / (𝑛−𝑟)!

𝑃(7, 4) = 7! / (7 − 4)!

𝑃(7, 4) = 7 × 6 × 5 × 4 × 3! / 3!

𝑃(7, 4) = 7 × 6 × 5 × 4 = 840

Jadi, banyak susunan 4 huruf berbeda dari kata MENTARI adalah 840.

18. Dalam berapa cara, 6 buku pelajaran berbeda dapat disusun pada sebuah rak buku?

Jawaban:

Banyaknya cara menyusun keenam buku pelajaran yang berbeda merupakan permutasi 6 unsur dari 6 unsur atau P(6, 6).

Dengan rumus P(n, n) = n!

diperoleh P(6, 6) = 6!

P(6, 6) = 6!

P(6, 6) = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Jadi, banyaknya cara menyusun 6 buku pelajaran yang berbeda pada rak buku adalah 720 cara.

19. Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata MATEMATIKA ?

Jawaban:

Banyak huruf pada kata MATEMATIKA ada 10 buah. Terdapat unsur yang sama, yaitu:

• huruf M ada 2 buah,

• huruf A ada 3 buah,

• huruf T ada 2 buah.

• huruf E, I, dan K masing-masing 1 buah.

Maka banyaknya permutasi dari huruf-huruf tersebut adalah

P = 10! / 2! 𝑥 3! 𝑥 2! 𝑥 1! 𝑥 1! 𝑥 1!

P = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3! / 2 𝑥 3! 𝑥 2 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 1 = 151.200.

20. Satu keluarga terdiri dari ayah, ibu, dan 4 orang anaknya. Mereka duduk di meja makan yang bentuknya melingkar. Ada berapa cara anggota keluarga tersebut duduk mengelilingi meja jika ayah dan ibu selalu duduk berdampingan?

Jawaban:

• Syarat khusus, ayah dan ibu selalu duduk berdampingan. Posisinya dapat dipertukarkan sebanyak 2! = 2 x 1 = cara.

• Ayah dan ibu selalu duduk berdampingan, sehingga posisi ini diblok dan dianggap 1 unsur. Blok (ayah dan ibu) dan 4 orang anaknya menjadi 5 unsur yang duduk melingkar, sehingga dengan permutasi siklik diperoleh:

Ps (5) = (5 – 1)! = 4!

Ps (5) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Dengan Aturan perkalian diperoleh banyak cara anggota keluarga duduk mengelilingi meja jika ayah dan ibu selalu duduk berdampingan adalah 2 x 24 = 48 cara.