Contoh Soal Kaidah Pencacahan Kelas 12 Semester 1 dan Jawaban

tirto.id - Kaidah pencacahan merupakan salah satu materi yang akan diterima oleh siswa kelas 12 semester 1 dalam mata pelajaran Matematika. Sebelum menghadapi ujian, siswa dapat mempersiapkan diri dengan memperbanyak mengerjakan latihan soal sebagai bahan belajar.

Dalam kehidupan sehari-hari kita dapat menjumpai berbagai masalah yang berkaitan dengan kaidah pencacahan, misalnya menggunakan kaidah pencacahan untuk mengetahui berapa banyak kode kendaraan bermotor di daerah tertentu, atau mencari berapa kemungkinan cara untuk membuka kunci dengan 4 kombinasi nomor dan sebagainya.

Kaidah pencacahan didefinisikan sebagai aturan untuk menghitung banyaknya objek-objek tanpa harus merinci semua kemungkinan susunannya.

Secara lebih sederhana, kaidah pencacahan itu merupakan aturan membilang untuk mengetahui berapa banyak kejadian atau objek tertentu yang dapat muncul. Kemudian hasil dari pencacahan itu berupa bilangan cacah.

Berdasarkan peta konsep dalam materi kaidah pencacahan kelas 12 terdapat beberapa aturan yang akan digunakan dalam suatu perhitungan.

Adapun kaidah perhitungan dalam pencacahan itu sendiri meliputi berbagai aturan perhitungan mulai dari perkalian dan penjumlahan, permutasi, serta kombinasi. Perhitungan dalam permutasi juga terbagi menjadi 3 yakni permutasi semua unsur berbeda, permutasi dengan unsur sama, dan permutasi siklik.

Contoh Soal Kaidah Pencacahan Kelas 12 Semester 1 dan Jawaban

Berikut disajikan beberapa contoh soal essay mengenai Kaidah Pencacahan kelas 12.

1.Pada suatu kelas akan dibentuk sebuah kepengurusan yang terdiri dari satu ketua kelas dan satu sekretaris. Ada berapa kepengurusan yang mungkin terbentuk jika ada 5 calon ketua kelas dan 6 calon sekretaris?

Jawaban:

Perhitungan banyak kepengurusan kelas sebagai berikut:

Pemilihan ketua kelas = 5 kemungkinan

Pemilihan sekretaris = 6 kemungkinan

Sehingga kepengurusan yang mungkin terbentuk sebanyak 5 × 6 = 30 kemungkinan.

2. Dalam ruang tunggu suatu apotik terdapat 4 kursi. Ahmad, Umar, Ali dan Said sedang berada di ruang tunggu apotek tersebut. Berapa banyak cara yang berbeda keempat anak itu menduduki kursi tersebut ?

Jawaban:

Misalkan, terdapat 4 kotak yang menggambarkan 4 kursi dalam ruang tunggu.

Kotak (kursi) pertama dapat diisi dengan 4 pilihan (cara), yaitu oleh siapa saja dari keempat anak. Kotak kedua dapat diisi dengan 3 pilihan (cara), yaitu oleh siapa saja dari ketiga anak yang tersisa. Kotak ketiga dapat diisi dengan 2 pilihan (cara), yaitu oleh siapa saja dari kedua anak yang tersisa. Kotak keempat dapat diisi dengan 1 pilihan (cara), yaitu oleh anak terakhir yang tersisa.

Dengan demikian banyaknya pilihan (cara) untuk menyusun posisi duduk dapat diketahui dengan menggunakan aturan perkalian, sehingga banyaknya cara yang berbeda keempat anak menduduki kursi tersebut adalah 4 X 3 X 2 X 1 = 24 cara.

3. Di dalam kantong terdapat 10 kelereng berwarna merah, 7 kelereng berwarna hijau, 5 kelereng berwarna kuning, dan 3 kelereng berwarna biru. Berapakah banyaknya kemungkinan untuk mengambil satu kelereng berwarna merah atau hijau atau kuning atau biru?

Jawaban:

Kejadian pertama (mengambil satu kelereng merah) dapat terjadi dengan 10 cara.

Kejadian kedua (mengambil satu kelereng hijau) dapat terjadi dengan 7 cara.

Kejadian ketiga (mengambil satu kelereng kuning) dapat terjadi dengan 5 cara.

Kejadian keempat (mengambil satu kelereng biru) dapat terjadi dengan 3 cara.

Jadi banyaknya cara mengambil satu kelereng warna merah atau hijau atau kuning atau biru adalah 10 + 7 + 5 + 3 = 25 cara.

4. Hitunglah:

a. 6!

b. 5!/2!

Jawaban:

a. 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

b. 5!/2! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 / 2 x 1 = 120/2 =60

5. Nyatakan bentuk berikut dalam notasi faktorial

a. 4! (5x6)

b. 8 x 7 x 6 x 5 = 8 x 7 x 6 x 5 x (4 x 3 x 2 x 1 / 4 x 3 x 2 x 1)

Jawaban:

a.4! (5x6) = (4 x 3 x 2 x 1)(5 x 6) = 6!

b. 8 x 7 x 6 x 5 x (4 x 3 x 2 x 1 / 4 x 3 x 2 x 1) = 8!/4!

6. Dalam suatu kelas akan diadakan pemilihan pengurus kelas yang terdiri dari ketua kelas, sekretaris dan bendahara. Apabila calon ketua kelas ada 6 orang, calon sekretaris ada 4 orang, dan calon bendahara ada 3 orang, ada berapa susunan pengurus kelas yang mungkin terbentuk ?

Jawaban:

Ketua kelas ada 6 pilihan

Sekretaris ada 4 pilihan

Bendahara ada 3 pilihan

Jadi, banyak susunan pengurus kelas yang mungkin terbentuk adalah 6 x 4 x 3 = 72 susunan.

7. Tentukan banyaknya susunan 4 huruf berbeda yang dapat diperoleh dari kata MENTARI.

Jawaban:

Kata MENTARI terdiri atas 7 huruf yang berbeda.

Banyaknya susunan 4 huruf berbeda yang dapat diperoleh dari 7 huruf berbeda tersebut merupakan permutasi r = 4 dari n = 7 huruf atau P(7, 4).

Jadi banyaknya susunan huruf yang dapat dibuat adalah

𝑃(𝑛, 𝑟) = 𝑛! / (𝑛−𝑟)!

𝑃(7, 4) = 7! / (7 − 4)!

𝑃(7, 4) = 7 × 6 × 5 × 4 × 3! / 3!

𝑃(7, 4) = 7 × 6 × 5 × 4 = 840

Jadi, banyak susunan 4 huruf berbeda dari kata MENTARI adalah 840.

8. Dalam berapa cara, 6 buku pelajaran berbeda dapat disusun pada sebuah rak buku?

Jawaban:

Banyaknya cara menyusun keenam buku pelajaran yang berbeda merupakan permutasi 6 unsur dari 6 unsur atau P(6, 6).

Dengan rumus P(n, n) = n!

diperoleh P(6, 6) = 6!

P(6, 6) = 6!

P(6, 6) = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Jadi, banyaknya cara menyusun 6 buku pelajaran yang berbeda pada rak buku adalah 720 cara.

9. Berapa banyak permutasi dari huruf-huruf pada kata MATEMATIKA ?

Jawaban:

Banyak huruf pada kata MATEMATIKA ada 10 buah. Terdapat unsur yang sama, yaitu:

• huruf M ada 2 buah,

• huruf A ada 3 buah,

• huruf T ada 2 buah.

• huruf E, I, dan K masing-masing 1 buah.

Maka banyaknya permutasi dari huruf-huruf tersebut adalah

P = 10! / 2! 𝑥 3! 𝑥 2! 𝑥 1! 𝑥 1! 𝑥 1!

P = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3! / 2 𝑥 3! 𝑥 2 𝑥 1 𝑥 1 𝑥 1 = 151.200.

10. Satu keluarga terdiri dari ayah, ibu, dan 4 orang anaknya. Mereka duduk di meja makan yang bentuknya melingkar. Ada berapa cara anggota keluarga tersebut duduk mengelilingi meja jika ayah dan ibu selalu duduk berdampingan?

Jawaban:

• Syarat khusus, ayah dan ibu selalu duduk berdampingan. Posisinya dapat dipertukarkan sebanyak 2! = 2 x 1 = cara.

• Ayah dan ibu selalu duduk berdampingan, sehingga posisi ini diblok dan dianggap 1 unsur. Blok (ayah dan ibu) dan 4 orang anaknya menjadi 5 unsur yang duduk melingkar, sehingga dengan permutasi siklik diperoleh:

Ps (5) = (5 – 1)! = 4!

Ps (5) = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Dengan Aturan perkalian diperoleh banyak cara anggota keluarga duduk mengelilingi meja jika ayah dan ibu selalu duduk berdampingan adalah 2 x 24 = 48 cara.